¿El conjunto Mandelbrot tiene alguna barra de aplicaciones para crear arte fractal?

Matt McIrvin me dice que en física, el conjunto de Mandelbrot aparece en el estudio de ceros de la función de partición del modelo de Ising con parámetros continuados en el plano complejo, lo que aparentemente es útil en el estudio de las transiciones de fase. Aquí hay un artículo que menciona este fenómeno, con imágenes:

http://144.206.159.178/FT/847/30…

Rodolphe D’Inca.también señala un intento de observar su aparición en cierto circuito eléctrico:

http://www.sgtnd.narod.ru/scienc…

También vale la pena señalar que hay algunas matemáticas bastante profundas que rodean el conjunto de Mandelbrot. Esto me hace sospechar que seguirán apareciendo más aplicaciones.

Lo más interesante para mí es la relación entre el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia.

Ambos se definen utilizando esta función de un número complejo x, que también depende de un parámetro complejo z:

f (x) = x ^ 2 + z

Si arreglamos z, esta función define un mapa del plano complejo a sí mismo. Podemos comenzar con cualquier número x y seguir aplicando este mapa una y otra vez. Obtenemos una secuencia de números. Algunas veces esta secuencia se dispara hasta el infinito y otras no. El límite del conjunto donde no se llama conjunto de Julia para este número z.

Por otro lado, podemos comenzar con x = 0 y dibujar el conjunto de números z para los cuales la secuencia resultante no se dispara hasta el infinito. Eso se llama el conjunto de Mandelbrot .

Ya puedes sentir que están relacionados, pero aquí hay dos relaciones más. Primero, el conjunto de Julia para el número z está conectado precisamente cuando ese número se encuentra en el conjunto de Mandelbrot. Pero segundo, y mucho más impactante al principio, si te acercas al conjunto de Mandelbrot cerca de un número complejo específico z, ¡tiende a parecerse mucho al conjunto de Julia para ese número!

Por ejemplo, el conjunto de Julia para el número

z = −0.743643887037151 + 0.131825904205330i

Se ve como esto:


mientras que un ultra primer plano del conjunto de Mandelbrot cerca de ese número se ve así:


Entonces, de hecho, el conjunto de Mandelbrot es tan complicado como todos los conjuntos de Julia juntos. Esto significa que para probar los teoremas sobre el conjunto de Mandelbrot, las personas comienzan probando teoremas para los conjuntos de Julia.

Puede explorar esto visualmente usando este programa:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce…

Las matemáticas son más que esto: me doy cuenta de que principalmente te mostré algunas fotos bonitas, ¡lo que va en contra del punto que estoy tratando de hacer! – Pero de todos modos, hay muchas preguntas profundas que acechan en esta área, que se conoce con el nombre de “dinámica compleja”.

Me imagino que te refieres a la aplicación directa a las predicciones del mundo físico. No estoy calificado para decir.

Sin embargo, creo que es justo decir que tuvo dos “usos” históricos: impulsar el interés popular en las matemáticas y la computación estética y marcar el comienzo de un aumento del interés académico en dinámicas complejas.

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