En el caso del cálculo diferencial de variable única, generalmente se menciona el siguiente método cuando se trata de calcular los máximos / mínimos locales de una función (se supone que es diferenciable):
Dada f (x), resuelva la ecuación f ‘(x) = 0, donde f’ (x) es la derivada de f (x) con respecto a x. Esto se hace porque, en la vecindad de los puntos de máximos y mínimos, la función se vuelve estacionaria, es decir, cambia muy poco cuando x cambia un bit, lo que significa que la tasa de cambio (derivada) es cero.
Suponga que las soluciones de la ecuación f ‘(x) = 0 son x1, x2, x3, … y así sucesivamente. Luego, el método continúa diciendo que calcule la segunda derivada, f ” (x), evalúela en cada uno de estos puntos, y si:
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digamos, f ” (x1)> 0, entonces x1 es un punto de mínimos locales.
si f ” (x2) <0, entonces x2 es un punto de máximos locales.
¿Qué pasa si f ” (x3) = 0? en ese caso, es posible que el punto no sea un máximo o un mínimo, y luego se llama punto de inflexión. Para determinar eso, se deben calcular derivados de orden superior.
Sin embargo, en lugar de calcular la segunda derivada, hay una forma de calcular máximos y mínimos a partir de la primera derivada sola. Hace uso del hecho de que la derivada (pendiente de la tangente) cambia el signo de + ve a -ve alrededor de un máximo, y de -ve a + ve alrededor de los mínimos. Entonces, por ejemplo, si la derivada de alguna función g (x) es:
g ‘(x) = (x-1) * ((x-2) ^ 2) * (3-x),
entonces, el signo de g ‘(x) en diferentes intervalos es el siguiente:
{-, x <1
+, 1 <x <2
+, 2 <x <3
-, x> 3}
entonces, aunque las raíces de g ‘(x) = 0 son 1,2,3, x = 1 es un mínimo yx = 3 es un máximo. Esto se verifica considerando un anti-derivado de g ‘(x):
