Para todos los números complejos [matemática] z [/ matemática] y [matemática] w, [/ matemática]
[matemáticas] (e ^ z) ^ w = e ^ {zw} [/ matemáticas]
Esta regla se cumple sin excepción.
- Las matemáticas son la cuna de toda creación sin la cual el mundo no puede moverse ni una pulgada. ¿Cuánto estás de acuerdo?
- ¿Qué es una explicación intuitiva de un álgebra de factorización?
- ¿Hay alguna lógica falsa en matemáticas?
- ¿Cómo haríamos para resolver la conjetura de Collatz?
- ¿Qué se denota Q como en matemáticas?
La exponenciación sobre números complejos se complica porque las expresiones pueden tener múltiples valores. La punta de esto se extiende a números reales:
[matemáticas] 1 ^ {\ frac 1 2} = \ pm 1 [/ matemáticas]
Cuando multiplicamos números complejos, es como sumar sus ángulos. La cuadratura duplica así el ángulo. Tomar la raíz cuadrada es, por lo tanto, tomar la mitad del ángulo.
Parece que tomar medio ángulo es una operación inequívoca. Entonces, ¿por qué los números tienen dos raíces cuadradas? Es porque lo que importa no es el ángulo per se, sino sus funciones trigonométricas. Por lo tanto, cada ángulo tiene múltiples nombres, porque podemos sumarle o restarle [matemáticas] 360 ^ \ circ [/ matemáticas] sin cambiar sus funciones trigonométricas.
Entonces, si comenzamos con [matemáticas] 120 ^ \ circ [/ matemáticas], la mitad es [matemáticas] 60 ^ \ circ [/ matemáticas]. Pero podríamos comenzar desde [matemáticas] 120 + 360 = 480 ^ \ circ [/ matemáticas] y terminar con [matemáticas] 240 ^ \ circ [/ matemáticas], un ángulo diferente. Ese ángulo apunta en la dirección opuesta, [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática] de [matemática] 60 ^ \ circ [/ matemática]. Eso corresponde a las dos raíces cuadradas que son negaciones entre sí.
Esta ambigüedad con ángulos no solo da dos raíces cuadradas. Es responsable de las expresiones multivalor que aparecen en todas partes. Si elevamos la identidad de Euler a la potencia [matemática] 2k [/ matemática], para el entero [matemática] k [/ matemática], obtenemos
[matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemáticas]
Podemos multiplicar cualquier número, como [math] z [/ math], por esto sin cambiarlo. Es como [math] z [/ math] es implícitamente una función de [math] k [/ math]:
[matemáticas] z (k) = z = ze ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]
Ahora, si queremos la raíz [matemática] n [/ matemática], para el entero [matemática] n [/ matemática], obtenemos
[matemáticas] (z (k)) ^ {\ frac 1 n} = z ^ {\ frac 1 n} e ^ {ik (2 \ pi / n)} [/ matemáticas]
Eso dice que si tenemos una raíz enésima de [math] z [/ math] podemos obtener todas las demás multiplicando por [math] e ^ {ik (2 \ pi / n)}. [/ Math]
¿Cuántos hay? Eso depende de cuántos valores únicos hay de [matemática] e ^ {ik (2 \ pi / n)}. [/ Matemática] Comenzamos [matemática] k [/ matemática] en cero; [matemáticas] e ^ {i (0) (2 \ pi / n)} = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Aumentamos por unos. Una vez que llegamos a [matemática] k = n [/ matemática] obtenemos [matemática] e ^ {i \, n (2 \ pi / n)} = e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemática] nuevamente . A partir de ahí el ciclo se repite. Entonces tenemos [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces únicas [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] z [/ matemáticas].
Consideremos [matemáticas] (z (k)) ^ w [/ matemáticas]. Acabamos de hablar sobre la obtención de raíces, [math] w = 1 / n [/ math] para natural [math] n. [/ Math] Cuando [math] w [/ math] es un número entero, no hay ambigüedad, porque [math ] (e ^ {2 \ pi ki}) ^ w = 1 ^ w = 1. [/ math] Todos los diferentes enteros [math] k [/ math] s dan el mismo valor.
Cuando el exponente es un número racional [matemática] w = a / b [/ matemática] tenemos un caso similar a la raíz [matemática] n [/ matemática]; obtendremos [math] b [/ math] valores distintos, donde [math] b [/ math] es el denominador. Volveremos a la ambigüedad aquí en breve.
Cuando el exponente es irracional, obtenemos un número infinitamente contable de valores. Así que esto hace que cosas extrañas como [matemáticas] 1 ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas] sea el conjunto infinitamente infinito de puntos en el círculo unitario [matemáticas] e ^ {2 \ sqrt {2} \ pi ki} . [/ math] Cada [math] k [/ math] da un punto diferente en el círculo de la unidad, por lo que los valores aparentemente cubren el círculo de la unidad densamente, sin embargo, hay un número incontable infinito de puntos en el círculo de la unidad que no son [ math] e ^ {2 \ sqrt {2} \ pi ki} [/ math] para cualquier número entero [math] k [/ math].
¿Qué pasa cuando [math] w [/ math] tiene una parte imaginaria? Eso a menudo convierte la expresión en algo que tiene una cantidad infinita de valores reales. Por ejemplo [matemáticas] 1 ^ i = (e ^ {2 \ pi ki}) ^ i = e ^ {- 2 \ pi k} [/ matemáticas], múltiples valores reales que incluyen una de mis constantes favoritas, [matemáticas] e ^ {2 \ pi} \ aprox 535.5. [/ Math] Pero no presenta nuevas dificultades conceptuales.
La parte con la que más lucho es la ambigüedad que mencioné cuando el exponente es un número racional. Este es probablemente el problema al que se refiere el OP.
El ejemplo más simple es
[matemática] 1 ^ {\ frac 1 2} \ quad [/ matemática] en comparación con [matemática] \ quad 1 ^ {\ frac 2 4} [/ matemática]
Nuestras reglas han entrado en conflicto. Como [matemáticas] \ frac 1 2 = \ frac 2 4 [/ matemáticas] y siempre podemos sustituir iguales por iguales, estos tienen que ser iguales. Sin embargo, nuestra regla sobre cuántos valores tienen expresiones como esta dice 2 para el primero y 4 para el segundo. ¿Cómo podemos conciliar esto?
Otra forma de ver el problema es como una dificultad con la regla de multiplicación de poderes de poderes. Comparemos [math] (1 ^ {\ frac 1 4}) ^ 2 [/ math] con [math] (1 ^ 2) ^ {\ frac 1 4}. [/ Math]
La regla de multiplicación dice que deberían ser iguales, [matemáticas] 1 ^ {\ frac 1 2} [/ matemáticas]. ¿Qué obtenemos?
[matemática] 1 ^ {\ frac 1 4} [/ matemática] tiene cuatro valores, [matemática] 1, i, -1 [/ matemática] y [matemática] -i. [/ matemática] Cuando cuadramos estos obtenemos [ matemática] 1, -1, 1, -1 [/ matemática] respectivamente, o, combinando valores únicos, [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1. [/ matemática]
[math] (1 ^ 2) ^ {\ frac 1 4} = 1 ^ \ frac 1 4 [/ math] tiene cuatro valores, [math] 1, i, -1 [/ math] y [math] -i .[/matemáticas]
¿Que está pasando aqui? ¿Cómo pensamos sobre esto? Mi opinión es que estas fracciones no reducidas son muy similares a lo que sucede cuando cuadramos ecuaciones: a menudo introducimos soluciones extrañas. Quizás más que simplemente similar. Podemos ver [matemáticas] z = w ^ {\ frac 1 2} [/ matemáticas] como las soluciones a la ecuación [matemáticas] z ^ 2 = w [/ matemáticas] y [matemáticas] z = w ^ {\ frac 2 4} [/ math] como las soluciones a [math] z ^ 4 = w ^ 2. [/ Math]
He respondido cientos de preguntas de Quora en este ámbito. En la práctica, este problema no parece surgir. Sin embargo, parece un defecto en las matemáticas. No tengo una gran respuesta, así que voy a hacer una manivela.
Este paso, pasar de expresiones de un solo valor a expresiones de varios valores, es grande. ¿Qué significa incluso la igualdad de estas expresiones? En la escuela esto generalmente se pasa por alto. Creo que esto deja una sensación de inquietud en los estudiantes, especialmente en los buenos. Saben que hay algo que no les dicen. Las cosas parecen un poco rotas en comparación con las matemáticas a las que están acostumbrados. Su fe en las matemáticas como este formalismo sólido e inequívoco se ve sacudida.
