Cómo completar el cuadrado en álgebra

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ \ displaystyle x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} & = 0 \ \ \ displaystyle x ^ 2 + \ frac {b} {a} x & = – \ frac {c} {a} \\ \ displaystyle x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ left (\ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 & = – \ frac {c} {a} + \ left (\ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 \\ \ displaystyle \ left (x + \ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 & = – \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} \\ \ displaystyle \ left (x + \ frac {b} { 2a} \ right) ^ 2 & = \ frac {-4ac + b ^ 2} {4a ^ 2} \\ \ displaystyle x + \ frac {b} {2a} & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2}} \\ \ displaystyle x & = – \ frac {b} {2a} \ pm \ frac {\ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} \\ \ displaystyle & = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} \ end {align} [/ math]

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Toma una ecuación cuadrática:

[matemáticas] x ^ 2 + px + q = 0. \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Observe que los dos primeros términos son los dos primeros términos del cuadrado de [math] x + p / 2 [/ math]:

[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {p} {2} \ right) ^ 2 = x ^ 2 + 2 \ dfrac {p} {2} x + \ dfrac {p ^ 2} {4} = x ^ 2 + px + \ dfrac {p ^ 2} {4}. \ tag * {} [/ math]

Volviendo a la primera ecuación, “completemos el cuadrado” sumando (y luego restando) [matemáticas] p ^ 2/4 [/ matemáticas]:

[matemáticas] x ^ 2 + px + \ dfrac {p ^ 2} {4} – \ dfrac {p ^ 2} {4} + q = 0, \ tag * {} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {p} {2} \ right) ^ 2- \ dfrac {p ^ 2} {4} + q = 0. \ tag * {} [/ math]

Tenga en cuenta que al “completar el cuadrado”, eliminamos el término [math] px [/ math]. En cambio, ahora tenemos una ecuación mucho más simple que se puede resolver tomando una raíz cuadrada. Primero, muevo todos los términos que no sean el primero al lado derecho:

[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {p} {2} \ right) ^ 2 = \ dfrac {p ^ 2} {4} -q. \ tag * {} [/ math]

A continuación, la raíz cuadrada:

[matemáticas] x + \ dfrac {p} {2} = \ pm \ sqrt {\ dfrac {p ^ 2} {4} -q}, \ tag * {} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = – \ dfrac {p} {2} \ pm \ sqrt {\ dfrac {p ^ 2} {4} -q}. \ tag * {} [/ matemáticas]

Así, por supuesto, así es como se deriva la solución de la ecuación cuadrática, pero la técnica de eliminar el término de primer orden “completando el cuadrado” es una herramienta de simplificación algebraica muy poderosa en general.

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Si [math] a \ neq1 [/ math], divide todo por [math] a [/ math] y comienza desde allí. Voy desde el punto donde ya lo has hecho.

[matemáticas] x ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Mover [matemática] c [/ matemática] al otro lado

[matemáticas] x ^ 2 + bx = -c [/ matemáticas]

Agregue [math] (\ frac {b} {2}) ^ 2 [/ math] a ambos lados

[matemáticas] x ^ 2 + bx + (\ frac {b} {2}) ^ 2 = -c + (\ frac {b} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora puedes factorizar el lado izquierdo

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2}) ^ 2 = (\ frac {b} {2}) ^ 2-c [/ matemáticas]

Y has completado el cuadrado.

Primero, debe factorizar para que su [matemática] a [/ matemática] en [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] sea igual a [matemática] 1 [/ matemática].

Luego toma tu [matemáticas] b [/ matemáticas], la mitad y al cuadrado. Hazlo dos veces pero el segundo le pone el signo negativo.

Los cuadrados siguen un patrón:

[matemáticas] (x + n) ^ 2 = x ^ 2 + 2nx + n ^ 2 [/ matemáticas]

Para ajustarse a este patrón, su coeficiente x ^ 2 debe cambiarse a uno, y su término constante debe cambiarse a la mitad de su coeficiente x, al cuadrado.

Primero divida ambos lados entre 2 para que su término “a” sea igual a 1.
[matemáticas] 2x ^ 2 + 5x + 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 2.5x +1 = 0 [/ matemáticas]

Nuestro término c debe ser la mitad de b, al cuadrado o 1.5625. Para obtener eso, agregamos .5625 a ambos lados.

[matemáticas] x ^ 2 + 2.5x + 1.5625 = .5625 [/ matemáticas]

Ahora factorizamos el lado izquierdo.

[matemáticas] (x + 1.25) ^ 2 = .5626 [/ matemáticas]

Para “deshacer” el cuadrado, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, luego resolvemos x dejándonos con:

[matemáticas] x = -1.25 \ pm .75 [/ matemáticas]

x = -2 o -.5

1. Paso 1 Divide todos los términos entre a (el coeficiente de x2).
2. Paso 2 Mueva el término numérico (c / a) al lado derecho de la ecuación.
3. Paso 3 Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación y equilibra esto agregando el mismo valor al lado derecho de la ecuación.

Al sumar y restar la mitad del coeficiente de variable cuya potencia es 1