Hay muchas situaciones en las que una matriz tendrá valores propios negativos. Aquí hay algunos:
1) Cuando la matriz es negativa definida, todos los valores propios son negativos.
2) Cuando la matriz es distinta de cero y se define de forma negativa, tendrá al menos un valor propio negativo.
3) Cuando la matriz es real, tiene una dimensión impar y su determinante es negativo, tendrá al menos un valor propio negativo.
4) Cuando la matriz es diagonal y tiene algunas entradas diagonales negativas, tiene valores propios negativos.
5) Cuando la matriz es distinta de cero, real, simétrica y no positiva, se debe definir algunos valores propios negativos.
6) Cuando la matriz no es cero, es real, simétrica y tiene una traza negativa, debe tener algunos valores propios negativos.
Todos estos son casos más restrictivos (algunos superpuestos) en los que definitivamente sabe que hay un valor propio negativo, pero no son exhaustivos. En general, una matriz tiene valores propios negativos siempre que [math] Ax = -cx [/ math] para algunos [math] c> 0 [/ math], lo que puede suceder de muchas maneras.
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El significado de los valores propios negativos en una matriz depende, por supuesto, del contexto. Aquí hay una pareja en la que puedo pensar:
1) Interpretando geométricamente, una matriz que tiene un valor propio negativo representa una transformación lineal que actúa como un reflejo a través de algún eje. Esto puede tener repercusiones sobre si un conjunto de vectores orientados de una manera particular (por ejemplo, de acuerdo con la regla de la mano derecha) mantiene esa orientación o no.
2) En las ecuaciones diferenciales lineales, los valores propios negativos corresponden a modos / soluciones no oscilatorios, exponencialmente estables. Entonces, si el vector de condición inicial de un sistema corresponde a un valor propio negativo, el estado del sistema decaerá a 0 como un exponencial sin oscilar.
3) En las ecuaciones de diferencia lineal, los valores propios negativos corresponden a oscilaciones similares al papel de los valores imaginarios distintos de cero en las ecuaciones diferenciales lineales.
