Aprecio mucho la respuesta de Quora User. Pero si no conoce la idea de Euler [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] de números complejos, entonces la prueba a continuación con Inducción matemática será fácil de entender.
Forma polar de un número complejo [matemáticas] z = r (cos \ theta + i sin \ theta) [/ matemáticas]
La inducción matemática implica tres pasos:
- ¿Cuánto tiempo llevaría (ver explicación)?
- Si hay 6 manzanas y usted toma 4 manzanas, ¿cuántas manzanas tiene?
- ¿Cuál es el significado de Espantapájaros recitando incorrectamente el teorema de Pitágoras después de recibir un cerebro del mago?
- ¿Cuáles son los defectos en la prueba de Zenón?
- Tenemos que mover 5000 melones de la ciudad de Rivendell a la ciudad de Mordor. La distancia entre Rivendell y Mordor es de 1000 millas. Tenemos un caballo que puede transportar 1000 melones como máximo y come 1 melón por milla. ¿Cuál es el número máximo de melones que podemos transferir?
Hipótesis, verifique si hay una pequeña n y finalmente asuma que la hipótesis es verdadera para una n fija y pruebe para (n + 1)
Hipótesis: [matemática] arg (z ^ n) = n argz [/ matemática]
Verifique para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ 2 = r (cos \ theta + i sin \ theta) * r (cos \ theta + i sin \ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] = r ^ 2 (cos ^ 2 \ theta – sin ^ 2 \ theta + 2i cos \ theta sin \ theta) [/ matemáticas]
Lo sabemos
[matemáticas] cos ^ 2 \ theta – sin ^ 2 \ theta = cos2 \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 cos \ theta sin \ theta = sin2 \ theta [/ matemáticas]
Así que probamos que [matemáticas] z ^ 2 = r ^ 2 (cos2 \ theta + i sen2 \ theta) [/ matemáticas] y [matemáticas] arg (z ^ 2) = 2 argz [/ matemáticas]
Suposición: [matemática] arg (z ^ n) = n argz [/ matemática] es verdadera.
Para probar [matemáticas] arg (z ^ {n + 1}) = (n + 1) argz [/ matemáticas]
[matemáticas] z ^ {n + 1} = z ^ n * z [/ matemáticas]
[matemáticas] = r ^ n (cosn \ theta + i sinn \ theta) * r (cos \ theta + i sin \ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] = r ^ {n + 1} (cosn \ theta * cos \ theta – sinn \ theta * sin \ theta + i cosn \ theta sin \ theta + isinn \ theta cos \ theta) [/ math]
[matemática] cosn \ theta * cos \ theta – sinn \ theta * sin \ theta = cos (n + 1) \ theta [/ math]
[matemática] cosn \ theta sin \ theta + sinn \ theta cos \ theta = sin (n + 1) \ theta [/ math]
Y así, [matemáticas] z ^ {n + 1} = r ^ {n + 1} (cos (n + 1) \ theta + i sin (n + 1) \ theta) [/ math]
Esto significa [matemática] arg (z ^ {n + 1}) = (n + 1) argz [/ matemática]
Así que hemos demostrado que [math] arg (z ^ n) = n argz [/ math] usando el método de inducción matemática.
¡Espero que esto ayude!
