Parece que está preguntando sobre la generalización de la fórmula de Euler a los politopos de dimensiones superiores.
Recordará que un polígono politopo bidimensional tiene tantos vértices como bordes, y siempre tiene dos caras (la interna y la externa). Esto da V-E + F = 2.
Un poliedro tridimensional satisface la fórmula “normal” de 3-D de Euler, donde la suma de los vértices y las caras es 2 más que el número de aristas. Este 2 corresponde a los dos “espacios” tridimensionales en los que la figura 3D divide el espacio, por lo que también se puede representar como V-E + F = 2, pero también se podría escribir V-E + FC = 0, donde C representa el número de “celdas” tridimensionales.
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Yendo a cuatro dimensiones, tenemos que el número de vértices más el número de caras en 2-D es igual al número de bordes más el número de celdas en 3-D. En otras palabras, V-E + FC = 0 aún se mantiene. Sin embargo, también podríamos notar que un policlorón también separa el espacio 4-D en dos regiones, por lo que esto podría escribirse V-E + F-C + R = 2, donde R es el número de regiones 4-D.
Podríamos ir a 5 dimensiones, pero probablemente ya estés empezando a ver el patrón. V-E + F-C + R = 2 todavía se mantendrá, pero también podría escribirse V-E + F-C + RS = 0 donde S es el número de espacios 5-D. En este punto, las variables con letras diferentes ya se están volviendo engorrosas, por lo que podemos dar la forma general de la fórmula a través de un cambio de notación.
Deje que [math] F_i [/ math] sea el número de regiones i- dimensionales que componen su politopo n -dimensional. Entonces, cualquier politopo debe satisfacer la versión general de la Fórmula de Euler:
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n (-1) ^ iF_i = 1 – (- 1) ^ n [/ matemáticas]
Ahora, el simplex, el hipercubo y el orthoplex (cross-polytope) son los únicos politopos regulares n -dimensionales para n > 5, y Andrew ya ha explicado cómo funcionan el simplex y el hipercubo. Las fórmulas generales para esto son así:
Para el n- dimensional simplex, [matemática] F_i = {n \ elegir i + 1} [/ matemática]
Para el hipercubo n- dimensional, [matemática] F_i = 2 ^ {ni} {n \ choose i} [/ math]
Ahora completaré esos valores para el ortoplex y sabrás todo lo que hay que saber sobre los politopos del género 0.
Una unidad orthoplex centrada en el origen es el politopo cuyos vértices son cero en todas las dimensiones, excepto en una, que es igual a 1 o -1. Entonces, para 1 dimensión, este sería el segmento de línea de longitud 2 con vértices -1 y 1. Para 2 dimensiones, es el cuadrado con vértices (1,0), (- 1,0), (0,1) , (0, -1). Para 3 dimensiones, es el octaedro con vértices (1,0,0), (- 1,0,0), (0,1,0), (0, -1,0), (0,0,1 ), (0,0, -1). Y así. Su intersección con el ortante positivo es el Simplex estándar en n dimensiones. Todas sus caras son simplices n-1-dimensionales.
Mirando las primeras cuatro dimensiones, vemos los siguientes valores [matemáticos] F_i [/ matemáticos] (omitiendo las caras nulas):
2 1
4 4 1
6 12 8 1
8 24 32 16 1
No es tan obvio ver los patrones aquí, lo sé, pero algunos de ellos son evidentes. La primera columna son solo los números pares. La penúltima columna son las potencias de 2. La segunda columna en la enésima fila es n-1 veces el número a su izquierda (excepto la primera). Pero solo quieres el patrón general en este punto:
Para el politopo cruzado tridimensional, [matemática] F_i = 2 ^ {i + 1} {n \ elegir i + 1} [/ matemática].
Como un comentarista (¿el autor de la pregunta?) Ha expresado particular interés en los hipercubos, estoy agregando una larga nota aquí sobre cómo derivar la fórmula (dada anteriormente) para los hipercubos.
Cada hipercubo tiene un vértice en cada orto por definición. Eso es vértices [matemáticos] 2 ^ n [/ matemáticos].
Cada vértice está conectado por un borde a un vértice adyacente a lo largo de cada eje (es decir, si es -1 en la coordenada [matemática] x_i [/ matemática], se conectará al vértice que es idéntico en todas las demás coordenadas pero es 1 en el [matemáticas] x_i [/ matemáticas] coordenadas). Con n ejes totales, cada vértice tiene n vecinos. Entonces, la cantidad de aristas es [matemática] 2 ^ n [/ matemática] vértices multiplicada por n vértices vecinos divididos por 2 vértices por arista, o [matemática] n \ cdot 2 ^ {n-1} [/ matemática].
Para cada par de vértices que comparten un vértice, hay un cuarto vértice que completa esos tres en un cuadrado bidimensional. Por lo tanto, el número de cuadrados es n vértices multiplicado por [matemática] {n \ elegir 2} [/ matemática] opciones de dos vértices vecinos divididos por 4 vértices por cuadrado, o [matemática] 2 ^ {n-2} {n \ elegir 2} [/ matemáticas].
Por cada triple de vértices todos se conectan al mismo vértice, hay un conjunto único de cuatro vértices más que los completan en un cubo tridimensional. Por lo tanto, el número de cubos es n vértices multiplicado por [matemáticas] {n \ elegir 3} [/ matemáticas] elecciones de 3 vértices vecinos divididos por 8 vértices por cubo, o [matemáticas] 2 ^ {n-3} {n \ elegir 3} [/ matemáticas]
En general, para cada conjunto de vértices i todos conectados al mismo vértice, hay un conjunto único de vértices [matemáticos] 2 ^ ni-1 [/ matemáticos] que completan ese conjunto en un cubo i completo. Por lo tanto, el número de cubos i es n vértices multiplicado por [math] {n \ choose i} [/ math] elecciones de i vértices vecinos divididos por [math] 2 ^ i [/ math] vértices por i- cube, o [ matemáticas] 2 ^ {ni} {n \ elegir i} [/ matemáticas].
Por lo tanto, se deriva la fórmula que di anteriormente.
