Cómo demostrar matemáticamente “si sueltas un mapa del mundo en el suelo, habrá un punto en el mapa que se superpone al punto que representa”

Veamos, estoy inventando esto, pero no debería ser demasiado difícil …

Defina el mapa para que tenga ciertas propiedades: es un mapeo matemático (correspondencia) de cada punto de la tierra a un punto en el mapa de papel. Tiene una escala que converge localmente. Eso significa que, si bien el mapa puede mapear un globo tridimensional en un rectángulo 2D, a medida que se acerca a un área contigua particular en la Tierra, hay un área contigua correspondiente en el mapa. Además, mientras que un área circular en la Tierra se asigna a una forma diferente en el mapa, el límite es cerrado y continuo. Y, a medida que disminuye el radio, la forma en el mapa converge en un círculo. (¡Estoy haciendo algunas declaraciones aquí y dejo la prueba al lector! … Dios mío, eso es divertido, ¡puedo ver por qué los autores de mis libros de matemáticas en la universidad lo hicieron! … pero estoy divagando).

Ahora, estoy aquí en Seattle, y tengo un mapa del mundo aquí mismo. Dibujo cualquier círculo, A1, en la Tierra real que tiene Seattle en el interior (no importa que técnicamente cualquier círculo en el mundo tenga esa propiedad …). Construya el círculo correspondiente, B1, en el mapa. Ahora para el paso 2: reemplace el círculo, A1, en la Tierra con el círculo físico, A2 = B1, en mi mapa físico, y calcule el nuevo círculo B2 en el mapa. Como A2 está contenido dentro de A1, B2 debe estar contenido dentro de B1. La distancia física desde cualquier punto en A1 a cualquier punto en B1 está limitada por el diámetro del círculo A1. La relación del radio de A1 a B1 es el factor de escala local, S, del mapa (se supone que es S >> 1). Iterar ad infinitum. El diámetro de An disminuye en un factor de S en cada paso, y el proceso converge al punto deseado.

Formalmente, esto se llama, como señala David Rutter, el Teorema del punto fijo de Banach. Hay pruebas en la página de Wikipedia.

Una forma visual de concebir esto podría comenzar con un “diagrama de Venn”. Deje que uno de sus círculos sea “puntos dentro de la habitación debajo del mapa” y el otro sea “puntos en el mundo”. Obviamente, el segundo círculo está completamente incluido dentro del primero.

Los “puntos dentro de la habitación debajo del mapa” se corresponderán exactamente, por supuesto, con los “puntos en el mapa”, ya que la premisa proporciona mucho.

Dado que los puntos en el piso (mapa) deben corresponder a los puntos en el mundo (presumiblemente esto es 1 a 1, a menos que el mapa sea uno de esos que envuelva y muestre Alaska dos veces), puede hacer sus “puntos en el mundo “El círculo de Venn es más pequeño, diga” puntos en el país en el que se encuentra “y el círculo de” puntos en el mapa “también se hará correspondientemente más pequeño, pero seguirá estando en el piso debajo del mapa. Si hacemos que nuestro círculo de Venn externo sea “el conjunto de puntos en la habitación”, habrá un área muy pequeña en el mapa (piso) que corresponde al mismo y nuevamente estos puntos aún están dentro de la habitación. En este punto, la diferencia ya es muy pequeña, pero si concibe este estrechamiento como una función, el límite de la función será el punto idéntico.

Aunque no es riguroso, intuitivamente:

1. Dibuja el contorno de toda el área del piso en el mapa.
2. Suelta el mapa. El mapa está definitivamente dentro del área dibujada en el mapa.
3. Dibuje el contorno de la ubicación mundial del mapa en el mapa. El dibujo todavía está contenido.
4. Dibuje el contorno de la ubicación mundial del dibujo anterior en el mapa. Por definición, este nuevo dibujo debe estar dentro del dibujo anterior y aún dentro de la ubicación mundial correspondiente.
5. Repita el paso 4 hasta que termine con un punto singular.

Una consecuencia trivial del teorema de punto fijo de Banach – Wikipedia

Busque pruebas de ese teorema para más detalles. (Puede ser avanzado y difícil).