¿Qué es [math] 5 \ sqrt {96} [/ math]?

Otras personas han proporcionado una solución exacta, así que permítame mostrarle cómo obtener una aproximación muy buena y rápida que (con algo de práctica) puede obtener rápidamente en su cabeza. Usaremos un resultado extremadamente útil de Cálculo:

[matemáticas] (1 + x) ^ a \ aprox 1 + ax [/ matemáticas] para [matemáticas] | ax | \ ll 1 [/ matemáticas]

¿Cómo usamos esta ingeniosa y pequeña aproximación? Bueno, el primer paso es factorizar desde debajo de la raíz cuadrada, el cuadrado perfecto más cercano (no necesariamente un entero) en el que podamos pensar. Es demasiado pronto para pensar mucho sobre este paso en este problema, ya que todos sabemos que [matemática] 10 ^ 2 = 100 [/ matemática] que está bastante cerca de 96. Entonces, si estuviéramos escribiendo este proceso, sería se parece a esto:

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} = 5 \ sqrt {100 \ cdot \ frac {96} {100}} = 5 \ cdot 10 \ sqrt {\ frac {96} {100}} [/ matemáticas]

El punto de este paso es que debajo de la raíz cuadrada, ahora nos queda un número cercano a uno. Y, por supuesto, la raíz cuadrada es lo mismo que elevar algo a la potencia de 0.5. Destacamos esto escribiendo:

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} = 50 \ sqrt {1- \ frac {4} {100}} = 50 \ left (1- \ frac {4} {100} \ right) ^ {0.5} [/ math ]

Y ahora vemos el punto, nos queda un término que, con [matemáticas] x = – \ frac {4} {100} [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 0.5 [/ matemáticas], se ve así:

[matemáticas] (1 + x) ^ a \ aprox 1 + hacha [/ matemáticas]

La aproximación debería ser bastante buena en este caso ya que [math] | ax | = 0.02 \ ll 1 [/ math]. Entonces obtenemos:

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} \ aproximadamente 50 \ izquierda (1-0.02 \ derecha) [/ matemáticas]

Y finalmente distribuimos los 50 para obtener:

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} \ aproximadamente 50-1 = 49 [/ matemáticas]

Entonces nuestra aproximación da 49 mientras que la aproximación de la calculadora da

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} \ aprox 48.9897948557 [/ matemáticas]

Resulta que nuestra aproximación tiene un error relativo de solo aproximadamente 0.02%. En otras palabras, decir:

[matemáticas] 5 \ sqrt {96} \ aproximadamente 49 [/ matemáticas]

es casi lo mismo que decir

[matemáticas] 4999 \ aproximadamente 5000 [/ matemáticas]

Y ese nivel de aproximación es generalmente bastante bueno para la mayoría de los propósitos prácticos.

Si desea comprender este problema, esto significa “5 veces la raíz cuadrada de 96”.

Permítanos .. y = 5 (96) ^ 1/2

significa x ^ 2 = 96

x ^ 2 = 4 * 4 * 6

x = (4 * 4) ^ 1/2 * 6

x = 4 * (6) ^ 1/2

y = 5 * 4 * (6) ^ 1/2

y = 20 * (6) ^ 1/2

Entonces la respuesta es 20 * (6) ^ 1/2

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