Si,
De hecho, en cualquier grupo G , si toma un elemento, digamos a , entonces todas las potencias (positivas y negativas) de una forman un subgrupo cíclico en G. Si a es un orden finito, digamos 3 , entonces solo necesitarás muchos poderes. como aritmética modular garantiza que todos los poderes de una ruptura en (3) respuestas iguales en el grupo general, como se muestra a continuación:
… A ^ {- 4} a ^ {- 3} a ^ {- 2} a ^ {- 1} a ^ 0 a ^ 1 a ^ 2 a ^ 3 a ^ 4 …
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es lo mismo que …
… A ^ 2 e a a ^ 2 e a a ^ 2 e a…
Si G es infinito y a no es finito, entonces la línea superior no se simplifica, pero el mapa al exponente es un isomorfismo al grupo aditivo Z (ya que la multiplicación de elementos induce una suma en el exponente).
Por supuesto, el subgrupo generado por a no necesita ser todo el grupo G , incluso si el grupo G es cíclico. (Suponga que G es cíclico con el generador g , yg es el orden 15 , mientras que a = g ^ 3. Entonces, el orden de a es en realidad cinco, y es un subgrupo propio de G. )
