Los logaritmos son la función inversa de los exponentes, de la misma manera que la resta es la inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación. Entonces, si [math] log_ {c} x = b [/ math] entonces [math] c ^ b = x [/ math]
(Las raíces cuadradas también son inversas a los exponentes, porque hay tres números con los que está tratando, por lo que hay tres formas de organizarlos).
Cuando aprende los registros por primera vez, generalmente usa [math] log_ {10} [/ math], porque eso explica bien el concepto. [matemática] log_ {10} 1000 = 3 [/ matemática] porque [matemática] 10 ^ 3 = 1000 [/ matemática].
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Sin embargo, cuando ingresa a la clase de cálculo y aprende integrales y derivados, los logaritmos de repente se convierten en una gran molestia. El principio básico de los derivados es:
[matemáticas] ax ^ b \ frac {d} {dx} = abx ^ {(b-1)} [/ matemáticas]
y el principio básico de las integrales es:
[matemáticas] ax ^ b = \ int abx ^ {(b-1)} [/ matemáticas]
Puede ver la relación entre estas dos funciones allí mismo. (Esto se puede demostrar con mayor detalle en otros lugares).
Sin embargo, cuando vas a tomar integrales de logaritmos de base 10 (o logaritmos de cualquier base racional, para el caso), te encuentras con algunas complicaciones locas. Cambiar la base cambia la forma en que la figura que estás integrando o diferenciando cambia. Sería más conveniente si la figura no cambiara en absoluto.
Entonces, ¿para qué base [matemáticas] e [/ matemáticas] es [matemáticas] \ int \ log_ {e} x = a \ log_ {e} x + b [/ matemáticas]? Resulta que la respuesta es [matemáticas] e \ aproximadamente 2.718281828459045 … [/ matemáticas]. Entonces, [math] \ log_e [/ math] es muy conveniente en el cálculo, y se conoce como el logaritmo natural o [math] \ ln [/ math]. Es la única base para la cual [math] \ int \ ln (x) = x \ ln (x) – x [/ math] Es decir, es la única base para la cual la base del logaritmo no tiene que cambiar.
Estoy muy oxidado en mi cálculo, especialmente en la sintaxis, así que corrígeme según sea necesario.
