Yo diría que casi todas las matemáticas se pueden reducir a una serie de operaciones básicas, a saber, la teoría de conjuntos. Un conjunto es básicamente una colección de objetos distintos (llamados elementos) . Ya sea aritmética, álgebra, cálculo, análisis, geometría, etc., se puede reducir a la teoría de conjuntos. Por ejemplo, la primera definición dada en mi libro de texto sobre espacios métricos comienza “Supongamos que X es un conjunto yd es una función real …”. De manera similar, la primera definición de mi texto de álgebra lineal dice “Un espacio vectorial es un conjunto V junto con adición en V y multiplicación escalar en V de tal manera que … “La teoría de conjuntos es el lenguaje de las matemáticas, y básicamente cada definición y teorema en la mayoría de las áreas de las matemáticas es una declaración sobre ciertos tipos de conjuntos, ciertos elementos de esos conjuntos o ciertos tipos de funciones en esos conjuntos.
Específicamente, los matemáticos trabajan en teoría de conjuntos ZFC la mayor parte del tiempo. Esta teoría particular de conjuntos establece todos los supuestos (llamados axiomas) sobre conjuntos que son necesarios para hacer todas las matemáticas. Esos supuestos describen todas las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo con conjuntos y qué tipos de conjuntos pueden existir. Subyacente a todo esto está la lógica formal, que es la base de las matemáticas. Todas las matemáticas se realizan de acuerdo con derivaciones estrictamente lógicas de supuestos. Todo lo que sabe sobre las matemáticas, desde los números hasta la suma, la geometría y el cálculo, puede definirse utilizando estos axiomas fundamentales sobre conjuntos.
Sin embargo, la teoría de conjuntos ZFC es insuficiente para algunos problemas, ya que no todos los problemas se pueden resolver solo con esos supuestos. Se necesita una teoría de conjuntos más grande con suposiciones adicionales, pero incluso entonces esa teoría de conjuntos más grande tiene problemas irresolubles. De hecho, se ha demostrado que es imposible hacer una teoría de conjuntos completa donde cada afirmación sea demostrable. Además, algunas áreas de las matemáticas no se pueden reducir a la teoría de conjuntos, como la teoría de categorías, que se ocupa de objetos más generalizados que simplemente establecen. Por ahora, esos tipos de matemáticas se encuentran entre las matemáticas más puras y no verán ninguna aplicación directa en el mundo real en el corto plazo (hasta donde sé, de todos modos). Entonces, para el profano, básicamente todas las matemáticas sobre las que escuchará se pueden reducir a declaraciones complicadas sobre colecciones de objetos.
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