¿Cuáles son los ejemplos de axiomas asumidos como verdaderos y luego demostrados como falsos?

Así no es como funcionan los axiomas. No puede probar que un axioma sea falso: solo puede demostrar que contradice algunos de sus otros axiomas. En otras palabras, su sistema axiomático puede ser inconsistente. Eso no muestra que uno u otro axioma sea falso, sino simplemente que no puedes asumir ambos simultáneamente.

En la teoría de conjuntos, se suponía que se podía construir un conjunto con solo decir que se deseaban todos los elementos que satisfacían alguna propiedad [matemática] P [/ matemática]. Esto no fue muy formalizado, por eso dudo en llamarlo axioma. Sin embargo, se demostró que esta forma ingenua de construir conjuntos entraría en contradicción; esta era la paradoja de Russell. Demostró que se necesitaba un enfoque más cuidadoso y formalizado, que es cómo obtuvimos los axiomas Zermelo-Frankel de la teoría de conjuntos.

Solo puedo explicar por qué la pregunta por sí sola no tiene sentido. Probablemente se basa en una concepción errónea de lo que es un “Axioma”.

Si desea comprender completamente la extensión del desafío aquí, necesitaría ir y comprender el teorema de incompletitud de Gödels. Explicar esto está fuera de alcance.

Una respuesta simplificada será: los axiomas son puntos de partida para el razonamiento lógico. Un sistema matemático se basa en un conjunto de Axiom. Diferentes conjuntos de axiomas forman diferentes sistemas matemáticos. Este conjunto de axiomas debe ser:

a) Libre de contradicación

b) No se pueden derivar el uno del otro

Si satisfacen estos conceptos, entonces el sistema matemático construido sobre ese conjunto de axiomas se considera bien formado.

Cuando alguien comienza a hacer matemáticas con un nuevo conjunto de axiomas, los examinará cuidadosamente y, si no pasan la prueba, el sistema se descarta.

De vez en cuando, las personas descubren que pueden hacer menos axiomas para un determinado sistema matemático. Entonces el axioma no estaba mal. Era simplemente innecesario.

Nunca he oído hablar de un sistema matemático bien establecido (analizado por otros matemáticos) que violara (a).

Como puede ver, el concepto de “demostrar que un axioma está equivocado” no aparece en absoluto. No tiene ningún sentido.