[matemáticas] (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2) (X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] (AX + BY + CZ) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] => (A ^ 2 X ^ 2 + A ^ 2 Y ^ 2 + A ^ 2 Z ^ 2) + [/ matemáticas] [matemáticas] (B ^ 2 X ^ 2 + B ^ 2 Y ^ 2 + B ^ 2 Z ^ 2) + [/ matemáticas] [matemáticas] (C ^ 2 X ^ 2 + C ^ 2 Y ^ 2 + C ^ 2 Z ^ 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] A ^ 2 X ^ 2 + B ^ 2 Y ^ 2 + C ^ 2 Z ^ 2 + [/ matemáticas] [matemáticas] 2ABXY + 2BCYZ + 2CAZX [/ matemáticas]
Cancelar [matemática] A ^ 2 X ^ 2, B ^ 2 Y ^ 2, C ^ 2 Z ^ 2 [/ matemática] desde ambos lados y reorganizar
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[matemáticas] (A ^ 2 Y ^ 2 + B ^ 2 X ^ 2 – 2ABXY) + [/ matemáticas] [matemáticas] (B ^ 2 Z ^ 2 + C ^ 2 Y ^ 2 – 2BCYZ) + [/ matemáticas] [matemáticas] (C ^ 2 X ^ 2 + A ^ 2 Z ^ 2 – 2CAZX) = 0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] (AY-BX) ^ 2 + (BZ-CY) ^ 2 + (CX-AZ) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 0 [/ matemáticas]
La suma de tres cuadrados es 0, por lo tanto, cada uno de ellos debe ser 0
[matemáticas] AY – BX = 0 => \ frac {X} {A} = \ frac {Y} {B} [/ matemáticas]
Del mismo modo, [matemáticas] \ frac {Y} {B} = \ frac {Z} {C} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] X: A = Y: B = Z: C [/ matemáticas]
