¿Cómo se resolvió la paradoja de Russell?

Se resolvió limitando el axioma de comprensión, también llamado axioma de especificación.

La idea original de la teoría de conjuntos era que, dado cualquier predicado P , existe un conjunto cuyos elementos son exactamente aquellas cosas que satisfacen a P. Es decir, este conjunto existe:

[matemáticas] \ {S \, | \, P (S) \ hbox {contiene} \} [/ matemáticas]

Parece bastante inocuo. Simplemente ponga todas las cosas que satisfacen P juntas en un conjunto. Desafortunadamente, eso permite la paradoja de Russell cuando tomas [math] P (S) [/ math] para ser [math] S \ notin S. [/ Math] *

Zermelo lo restringió para aplicar solo a subconjuntos. Dado un predicado P y un conjunto T , existe un conjunto (que será un subconjunto de T )

[matemáticas] \ {S \ en T \, | \, P (S) \ hbox {contiene} \} [/ matemáticas]

Pero con esa restricción, Zermelo tuvo que agregar nuevos axiomas para construir conjuntos más grandes a partir de conjuntos. Esos axiomas incluían los axiomas de emparejamiento, unión y conjuntos de poder.

*: La paradoja de Russell. Deje que [math] R [/ math] sea el conjunto

[matemáticas] R = \ {S \, | \, S \ notin S \} [/ matemáticas]

Entonces [math] R [/ math] no puede ser un elemento de [math] R [/ math] porque si lo fuera, no lo sería.

Además, [math] R [/ math] debe ser un elemento de [math] R [/ math] porque si no lo fuera, lo sería.

Como ninguno de los dos es posible, se produce una contradicción. Cualquier versión de la teoría de conjuntos que permita la creación de este conjunto es contradictoria.

La paradoja de Russell mostró un corto circuito dentro de la ingenua teoría de conjuntos. Es decir, mostró la incompatibilidad entre el principio de comprensión (” Dada cualquier propiedad, hay un conjunto que consiste en todos los objetos que tienen esa propiedad “) y la noción básica de teoría de conjuntos, a saber (i) coherencia del sistema (ii) cada conjunto puede ser capturado por un conjunto (iii) cualquier conjunto puede ser un elemento de otro conjunto (un conjunto es una entidad donde se encuentran todas las propiedades del conjunto). Y, además (iv) definición extensional de conjuntos, en lugar de una intencional. Es decir:

• Comprensión sin restricciones : [matemática] \ existe B \ para toda x (x \ en B \ leftrightarrow \ phi (x)). [/ Matemática] Teniendo en cuenta la propiedad [matemática] \ lbrace x | x \ not \ in x \ rbrace, [/ math] obtenemos la (in) famosa paradoja [math] x \ in x \ leftrightarrow x \ not \ in x [/ math]

¿Cómo se “resolvió” la paradoja? Dejar caer uno de los elementos / supuestos anteriores.

1. (ii) ” toda multiplicidad puede ser capturada por un conjunto ” – En el sistema axiomático estándar ZFC (Zermelo Fraenklen + Choice), restringimos nuestro dominio mediante un esquema de especificación axiomático , considerando solo los subconjuntos de elementos donde se mantiene una propiedad determinada; es decir, no todas las propiedades determinan un conjunto, no tenemos en cuenta las entidades que pueden generar dicha antinomia. No hay un conjunto universal en ZFC. Igualmente, en la STT de Russell (teoría de tipo simple), restringimos también el dominio, considerando solo los tipos estratificados (en oposición a los no estratificados)
2. (iii) cualquier conjunto puede ser un elemento de otro conjunto. – En NBG (Von Neumann – Bernays – Gödel) y MK (Morsey-Kelly), la estrategia alternativa para ahorrar coherencia se basa en una ontología diferente. Estos sistemas incluyen clases apropiadas en oposición a conjuntos. Es decir, las clases son entidades más débiles que los conjuntos, diferentes por conjuntos, y suponiendo esta diferencia ontológica podemos salvar la coherencia por la paradoja de Russell
3. (iv) Introducción de una definición no extensional de conjuntos, como Russell hizo con el tipo de tipo Ramificado
4. (i) coherencia de los sistemas – últimamente, desde que florecieron las lógicas paraconsistentes – algunos sistemas salvan la coherencia del sistema por la inconsistencia de la paradoja de Russell. El intento es recuperar el esquema de comprensión total dentro de una lógica paraconsistente, sin caer en la trivialidad de la teoría. Ver Brady (2008)

David Joyce y Uri Granta dieron respuestas buenas, algo técnicas.

La explicación intuitiva es “cambiando las reglas”. Esto sucede en matemáticas. “No podemos resolver [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]”. ¡No hay problema! ¡Solo inventaremos un nuevo número!

“El quinto postulado de Euclides es terriblemente extraño” ¡No hay problema! ¡Hagamos geometría nouclidiana!

“¿Cómo medimos la pendiente de una curva?” ¡Solo inventaremos un número que sea más pequeño que cada número pero no 0!

Generalización de la paradoja de Russell.

Parte 2. No para el conjunto de todos los conjuntos.

Vea la parte 1 (para el conjunto de todos los conjuntos) en mi respuesta “¿Dónde salió mal Russell en la paradoja de Russell?”.

Para todos los conjuntos, estas declaraciones son incorrectas:

1. Cada conjunto no es miembro de sí mismo.
2. Cada conjunto es miembro de sí mismo.

Prueba 1. No es para juegos vacíos.

1. A no es miembro de A.

Para cada elemento x de A, tenemos: x es miembro de A y debido a que A no es miembro de A, x tampoco es miembro de A. Declaración falsa.

2. A es miembro de A.

A = {A, x, …}. Debido a x, … somos miembros de A, tenemos A = {A}. Declaración falsa.

Fin de la prueba 1.

Prueba 2. Para conjuntos y conjuntos vacíos.

1. A no es miembro de A. Entonces A no es miembro de {A}. Declaración falsa.

2. A es miembro de A. A = {A, b, …}, entonces b, … son elementos de A por definición, y A = {A}. Declaración falsa.

Si A está vacío, entonces (2) es una declaración falsa por definición.

Fin de la prueba 2.

La esencia de la Paradoja de Russell es hacer un buen uso de los defectos fundamentales inconscientes de la “ confusión de potencial infinito-infinito real”: (1), con la idea y la operación de “ infinito real (incluyendo la teoría del límite clásico actual)” para sacar un porción de elementos en un Conjunto Infinito A original o una Serie B Infinita y construyendo un nuevo Conjunto Infinito A ‘(subconjunto infinito) o una nueva Serie B Infinita (sub-serie infinita); (2), con la idea y la operación de “ potencial infinito” para hacer que las personas crean inconscientemente que el Infinito A ‘o B’ recién construido contiene todos los elementos en A y B y cada uno puede representar A y B para conducir el “uno correspondencia “a uno” con otro Conjunto Infinito Y (incluido A) u otro Infinito Serie Z (incluido B); (3), con algunos métodos (como la prueba de diagonal ) para descubrir algunos elementos que son imposibles de existir en A ‘o B’ pero que seguramente existen en A o B; (4), construyendo paradojas o “probando” que las cantidades de elementos en A o B son más que aquellas “siendo un conjunto infinito de correspondencia uno a uno o una serie infinita”. Durante años, bastantes personas han pensado que la Paradoja de Russell se ha resuelto. Pero nuestros estudios han demostrado que no es cierto, porque muchos de los miembros modernos de la familia Russell’s Paradox han sido descubiertos, como las ideas y los resultados de la Prueba de Diagonal de Cantor sobre el “Teorema del conjunto de números reales y de la incontabilidad”.

Editar: escribí esto hace mucho tiempo y no estoy seguro de lo correcto que es.

La solución más natural que pensaban los científicos era no permitir que los conjuntos fueran elementos de sí mismos.

Si establece esto como su axioma, entonces el conjunto de todos los conjuntos normales (que no se contienen) ya no causa la paradoja, porque este es simplemente el conjunto de todos los conjuntos existentes en el universo, que se sabe que no existe , ya que el conjunto de potencia de dicho conjunto contendría incluso más conjuntos.

Observación: dado que este conjunto no existe, el axioma de comprensión, también llamado axioma de especificación, se destruyó, ya que había una regla, a saber, [matemáticas] S \ not \ en S [/ matemáticas], que no podía crear un conjunto completo

No existe tal cosa como resolver la paradoja de Russell. La paradoja de Russell dice aproximadamente que si tienes el conjunto de todos los conjuntos, entonces te metes en problemas. Demostró que las versiones ingenuas de la teoría de conjuntos eran inconsistentes, porque se podía derivar la paradoja de Russell.

La paradoja de Russell no es algo que quieras probar / refutar, sino que muestra que si puedes decirlo, entonces algo sobre tu teoría de conjuntos está mal.

Las paradojas de Russell contienen una inferencia en la premisa que contradice la conclusión. Por esta razón, nunca se resuelven porque son lógicamente inconsistentes. Su pregunta es un ejemplo de la Paradoja de Russel que no tendrá resolución.

Al hacer la teoría de conjuntos “correcta”.

Ver la paradoja de Russell.

La “paradoja” declara primero que un conjunto R es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Luego pregunta si R se contiene a sí mismo. El problema es que la existencia de R solo se propone. Nunca ha sido probado. Si R existió, la pregunta posterior revela una contradicción, que muestra que R realmente no puede existir. Como no hay R no hay contradicción, por lo tanto, no hay paradoja.

En pocas palabras: solo porque alguien dice “Aquí hay un conjunto con tal y tal propiedad” que no lo hace así.

Estoy de acuerdo con Kuba Bartczuk . Más que eso, creo que Russell quería expresar su protesta o desacuerdo con el colectivismo o los grandes gobiernos. En economía, la paradoja de Russell niega toda teoría de la macroeconomía. Por favor, lea Russell’s Paradox and Economics .

Esencialmente fue esquivado, no eliminado.

Hay una vieja historia: un hombre va al médico y le dice que cada vez que levanto el brazo así me duele como el infierno. El doctor responde; entonces no hagas eso.

La paradoja de Russell se manejó así: no hagas eso.

Simplificando demasiado para una fácil comprensión:

Al no permitir que un conjunto se contenga a sí mismo, o un conjunto que (en algún lugar de sus profundidades) lo contiene.