Creo que te refieres a si la suma de una serie real infinita es única o no.
Hay cuatro tipos de series infinitas de términos reales:
(i) oscilatorio (ii) divergente a [matemáticas] \; \; – \ infty \; \; [/matemáticas]
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(iii) divergir a [matemáticas] \; \; \ infty \; \; [/ math] y (iv) convergen a algún número real.
En el caso (i) como n tiende al infinito, la secuencia [matemáticas] \; \; (\; s_ {n} \;) \; \; [/ math] de [math] \; \; n ^ {th} \; \; [/ math] sumas parciales, oscila sin tender a un número definido.
Entre las series infinitas convergentes hay dos tipos:
(1) series absolutamente convergentes y
(2) series condicionalmente convergentes.
En el caso (1), la serie de valores absolutos de los términos de la serie es convergente (lo que garantiza la convergencia de la serie dada también). Es un resultado estándar que si una serie converge absolutamente, cualquier serie obtenida reorganizando los términos de la serie dada converge a la misma suma.
Por ejemplo [matemáticas] \; \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {n = \ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {n ^ {2}} \; \; [/ math] es una serie absolutamente convergente y cualquier reordenamiento de esta serie converge a la misma suma.
En el caso (2), la serie de valores absolutos de los términos de la serie no es convergente, pero la serie dada converge a algún número real.
Por un resultado estándar, conocido como teorema de Riemann, obtenemos
si una serie converge condicionalmente, entonces mediante una reorganización adecuada de los términos de la serie podemos construir una serie que sea oscilatoria / diverja a [matemáticas] \; \; – \ infty \; \; / \; [/ math] divergiendo a [math] \; \; \ infty \; / \; [/ math] converge cualquier número real de nuestra elección.
es decir, los reordenamientos de la misma serie muestran una naturaleza diferente.
es decir, si los términos no se alteran, la suma de cualquier serie condicionalmente convergente es única, pero si los términos se reorganizan, la suma puede no ser la misma.
Por ejemplo [matemáticas] \; \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {n = \ infty} \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} \; \; [/ math] es una serie condicionalmente convergente y su suma es [math] \; \; \ log_ {e} 2 \; \; [/ math] pero puede reorganizarse para converger a [math] \; \ ; -100. \; [/ Math] La misma serie también se puede reorganizar para divergir hasta el infinito.
