¿Cómo se prueba que [matemáticas] a ^ b + b ^ a \ geq 1 [/ matemáticas]?

Haz algunas discusiones.

1. [matemáticas] a \ geq 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] b \ geq 1 [/ matemáticas]

   (1) [matemáticas] a \ geq 1 [/ matemáticas]

   [matemáticas] a ^ b + b ^ a> a ^ b \ geq 1 [/ matemáticas]

   (2) [matemáticas] b \ geq 1 [/ matemáticas]

   [matemáticas] a ^ b + b ^ a> b ^ a \ geq 1 [/ matemáticas]

   ---

2. [matemáticas] a <1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b <1 [/ matemáticas]

   Deje que [matemáticas] a = \ frac {1} {1 + m}, b = \ frac {1} {1 + n}, m> 0, n> 0 [/ matemáticas]

   [matemáticas] a ^ b = {\ frac {1} {1 + m}} ^ {\ frac {1} {1 + n}} = \ frac {1} {(1 + m) ^ {\ frac {1 } {1 + n}}} [/ matemáticas]
   —————
   Ahora pruebe [matemáticas] (1 + m) ^ {\ frac {1} {1 + n}} \ leq 1+ \ frac {m} {1 + n} [/ matemáticas], o [matemáticas] f (m) = (1 + m) ^ p <1 + mp = g (m) [/ matemática], [matemática] m> 0 [/ matemática]:
   Cuando [matemática] m = 0 [/ matemática], [matemática] f (0) = 1 = g (0) [/ matemática]
   [matemáticas] f ‘(m) = p (1 + m) ^ {p-1}, g’ (m) = p, f ‘(m) \ leq g’ (m) [/ matemáticas]
   Por lo tanto, [matemática] f (m) \ leq g (m) [/ matemática]
   —————
   Regrese a [matemáticas] a ^ b [/ matemáticas]. Es igual
   [matemáticas] \ frac {1} {(1 + m) ^ {\ frac {1} {1 + n}}} \ geq \ frac {1} {1+ \ frac {m} {1 + n}} = \ frac {1 + n} {1 + m + n} [/ matemáticas]
   Cálculos similares rendimientos
   [matemáticas] b ^ a \ geq \ frac {1 + m} {1 + m + n} [/ matemáticas]
   Por lo tanto
   [matemáticas] a ^ b + b ^ a \ geq \ frac {2 + m + n} {1 + m + n}> 1 [/ matemáticas]

La desigualdad siempre se mantiene.

Una muy buena prueba de Min Lin utiliza que [matemáticas] \ izquierda (1 + t \ derecha) ^ {s} \ leq 1 + ts [/ matemáticas] para [matemáticas] t \ gt 0, 0 \ lt s \ lt 1 .[/matemáticas]

De hecho, [matemática] \ displaystyle (1 + t) ^ s = \ int_0 ^ {t} \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {dx}} (1 + x) ^ {s} \ mathrm { dx} + 1 = 1 + s \ int_0 ^ {t} \ dfrac {1} {(1 + x) ^ {1-s}} \ mathrm {dx} \ lt 1 + s \ cdot t [/ math] ( *)

La última desigualdad se mantiene desde la función [matemática] \ dfrac {1} {(1 + x) ^ {1-s}} <1 [/ matemática] para todos [matemática] 0 \ lt x \ lt 1. [/ Matemática ]

El resto de la prueba sigue la misma línea que la de Min Lin:
Suponga que WLOG [matemática] 0 \ lt a \ lt 1 [/ matemática] y [matemática] 0 \ lt b \ lt 1. [/ Matemática]

Deje [math] a = \ dfrac {1} {1 + x} [/ math] (+) y [math] b = \ dfrac {1} {1 + y} [/ math] (++) con [math ] x \ gt 0, y \ gt 0. [/ math]

Luego:
[matemáticas] a ^ b + b ^ a = \ left (\ dfrac {1} {1 + x} \ right) ^ {b} + \ left (\ dfrac {1} {1 + y} \ right) ^ { a} \ overset {\ text {debido a} (*)} {>} \ dfrac {1} {1 + bx} + \ dfrac {1} {1 + ay} \ overset {plug (+), (++ )} {=} \ dfrac {1 + y} {1 + x + y} + \ dfrac {1 + x} {1 + x + y}> 1 [/ matemáticas]

Un agradecimiento especial a Zhongzhan Huang, que ha encontrado una falla grave (desigualdad en la dirección incorrecta) en la variante anterior de la prueba, por lo que tuve que revisarla. Se volvió menos original pero ahora al menos correcto .

Muchas pruebas ya existen aquí. Pero trataré de abordar esto de una manera diferente. Usaré la métrica que es bastante famosa entre los científicos informáticos y los ingenieros de comunicación, a saber, la entropía relativa (divergencia Kullback-Leibler, la versión básica).

Así que aquí está la prueba.

Al igual que Min Lin, yo también considero 2 casos, de hecho, el primer caso es el mismo, pero para ser pedante, lo incluiré aquí nuevamente.

Caso 1: [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] b> 1 [/ matemáticas]

Caso 1.1: [matemáticas] a> 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ b + b ^ a \ geq a ^ b> 1 [/ matemáticas].

Caso 1.2: [matemáticas] b> 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ b + b ^ a \ geq b ^ a> 1 [/ matemáticas].

Caso 2: [matemáticas] a, b \ in (0,1] [/ matemáticas]

Observe que [math] 0 \ leq a ^ b \ leq 1 [/ math], deje que [math] \ log (1 / p) = a ^ b [/ math], entonces obtenemos [math] 0.5 \ leq p \ leq 1 [/ matemáticas]. Del mismo modo, deje que [math] \ log (1 / q) = b ^ a [/ math], y nuevamente [math] 0.5 \ leq q \ leq 1 [/ math].

Deje que [matemáticas] X, Y [/ matemáticas] sean variables aleatorias de Bernoulli tales que [matemáticas] P (X = 0) = (p / (p + q)) = 1 – P (X = 1) [/ matemáticas] y [matemática] P (Y = 0) = 0.5 = P (Y = 1) [/ matemática]. Deje que las funciones de masa de probabilidad de [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas] sean [matemáticas] t_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] t_2 [/ matemáticas] respectivamente. Usando la propiedad de entropía relativa que obtenemos,

[matemáticas] D (t_1 \ Vert t_2) \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ log (\ frac {p + q} {2p}) + \ frac {1} {2} \ log (\ frac {p + q} {2q}) \ geq 0. [/ Matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \ log (\ frac {1} {p}) + \ log (\ frac {1} {q}) \ geq 2 + 2 \ log (p + q) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ geq 2 + 2 \ log (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas]> 1, [/ matemáticas]

donde la cuarta desigualdad utiliza el hecho de que [matemáticas] p + q \ geq 1 [/ matemáticas]. Así [matemáticas] a ^ b + b ^ a \ geq 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

De hecho, la igualdad se logra solo cuando [matemática] a [/ matemática] o [matemática] b [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática] (no ambas), ya que la hipótesis dice estrictamente que [matemática] a, b> 0 [/ matemática] así [matemática] a ^ b + b ^ a> 1 [/ matemática].

[matemáticas] f (a, b) = a ^ b + b ^ a \ geq 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (b, a) = b ^ a + a ^ b = a ^ b + b ^ a = f (a, b) [/ matemáticas]

[matemáticas] b \ geq a \ to b = a + \ epsilon [/ matemáticas]

[matemáticas] f (a, a + \ epsilon) = a ^ {a + \ epsilon} + (a + \ epsilon) ^ a [/ math]

[matemáticas] \ frac {f (a, a + \ epsilon)} {a ^ a} = a ^ {\ epsilon} + (1+ \ frac {\ epsilon} {a}) ^ a [/ math]

[matemáticas] a ^ {\ epsilon} + (1+ \ frac {\ epsilon} {a}) ^ a \ geq \ frac {1} {a ^ a} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (a, a + \ epsilon) = a ^ a (a ^ {\ epsilon} + e ^ {\ epsilon}) \ geq 1 [/ math]

[matemática] \ epsilon = 0 \ a a ^ a (a ^ {0} + e ^ {0}) \ geq 1 [/ matemática]

El último paso es mostrar que [math] a ^ a [/ math] es mayor que .5 para todo “a” mayor que 0.

Además, la razón por la que decidí probar la conmutatividad del operador es para poder decir que realizar la operación con los valores mínimo y máximo, respectivamente, produciría el mismo resultado.