Si.
Bueno, sí, si permite que las “finanzas cuantitativas” incluyan modelos modernos de comportamiento económico y toma de decisiones. Esto es parte de lo que se conoce como Game Theory, y se usa bastante en economía para modelar y (aproximadamente) comprender el comportamiento de los mercados y las personas en esos mercados.
En los modelos creados en la década de 1950 por John Forbes Nash, Arrow y Debreu, y otros, los puntos estables u óptimos en los que convergen los modelos son “puntos fijos” de ciertas transformaciones, y la existencia (y a veces unicidad) de esos puntos fijos es garantizado por teoremas como el teorema de punto fijo de Brouwer y el teorema de punto fijo de Kakutani, que son teoremas de topología, y que a menudo se prueban con las herramientas de la topología algebraica.
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Para ser sincero, no es necesario utilizar la topología algebraica para probar el teorema del punto fijo de Brouwer. Se puede probar utilizando argumentos combinatorios como el Lema de Sperner o argumentos analíticos. Pero la topología algebraica proporciona el marco más robusto y general para comprender dichos resultados, y una vez que se dominan los conceptos relevantes, también es muy intuitivo y claro.
La geometría algebraica juega un papel en la teoría de juegos gracias a la observación de que muchos modelos generales de juegos, particularmente ciertos juegos estocásticos o juegos de forma extensa, producen objetos que son conjuntos semi-algebraicos sobre los números reales [math] \ mathbb {R} [ /matemáticas]. Como resultado, la marca particular de geometría algebraica que es relevante en economía es la geometría algebraica real y la inclusión de polinomios en las igualdades (frente a las igualdades).
Hasta donde yo sé, esto se observó por primera vez en un artículo seminal de Kohlberg y Mertens de 1986, por lo que esa conexión no es muy antigua, pero resultó ser muy fructífera. Tanto la teoría de los equilibrios (teoremas de la existencia abstracta) como la práctica (algoritmos para encontrarlos) se basan en métodos de geometría algebraica real.
Una vez más, para ser claros, no toda la investigación sobre juegos estocásticos y la existencia de equilibrios se basa en la geometría algebraica, no por mucho. Muchos investigadores prefieren trabajar en entornos más generales que las desigualdades polinómicas. Pero el enfoque polinómico es en realidad más general de lo que puede parecer a primera vista (ver este documento para una discusión de este punto) y los resultados son, por consiguiente, bastante poderosos.
