¿Por qué es cierto un teorema?

Sorprendentemente, los teoremas pueden o no ser ciertos , porque la “verdad” es una entidad filosófica mística que las matemáticas rara vez abordan. Los teoremas en matemáticas son válidos : dado un conjunto de axiomas y algunas reglas de inferencia, sigue un teorema y es una tautología.

Como ejemplo, considere el bien conocido teorema que lleva el nombre de Pitágoras que

en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados

En la Geometría Euclidiana, este es ciertamente un teorema: se puede probar que es válido de varias maneras diferentes. ¿Pero es “cierto”? Ciertamente es una muy buena aproximación para cosas en el mundo real que se aproximan a un “triángulo rectángulo”. Pero las idealizaciones matemáticas de un “punto”, una “línea” y un “triángulo” ni siquiera existen en el mundo real, entonces, ¿qué queremos decir con “verdadero”?

En este punto, el matemático sale del escenario, el filósofo sube al escenario y dice algo como:

Las matemáticas pueden definirse como el tema en el que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad.

[Bertrand Russell, 1901]

Russell era, por supuesto, un excelente matemático y filósofo, y dijo esto un tanto irónico, pero tiene un punto …

Un teorema es, formalmente, una declaración (a menudo de la forma, “Si el conjunto de condiciones A debe cumplir, entonces es el caso que B también cumple”), seguido de algún conjunto de declaraciones adicionales que describen los pasos lógicos que deben seguir desde los supuestos del teorema (A) hasta su conclusión (B).

Por qué este hecho de que un teorema es verdadero es un punto muy sutil e interesante, mejor explicado de manera trillada (aunque primero me olvido de quién): “Todos los teoremas de la lógica afirman lo mismo: a saber, nada”.

Parafraseando un poco, y citando a otra alma ingeniosa (no yo, pero Google no me ayuda mucho a esta hora para encontrar su origen): “Los teoremas son ciertos por su forma, no por su contenido”.

Desempacando eso, significa que en abstracto, si tenemos un sistema lógico con axiomas y reglas de inferencia, las declaraciones en ese sistema son teoremas si (1) son declaraciones válidas, o bien formadas, y (2) son conectado a los axiomas por otras declaraciones bien formadas y las reglas de inferencia (posiblemente incluyendo otros teoremas ya construidos).

Aquí hay un ejemplo un tanto informal, usando las reglas normales de inferencia con las que todos estamos (con suerte) familiarizados: tome como axioma que (1) cada groonswab es una bloomwibble, y que (2) ubberslip es un groonswab.

Teorema: ubberslip es un bloomwibble.

Prueba: por axioma (2), ubberslip es un groonswab. Axiom (1) afirma que cada groonswab es un bloomwibble. Por lo tanto, ubberslip es un bloomwibble. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Observe cómo realmente no importa lo que significa ser un bloomwibble o un groonswab, ni importa qué o quién es ubberslip. Podríamos reemplazar fácilmente “groonswab” por “man”, “a bloomwibble” por “mortal” y “ubberslip” por “Sócrates”, y tendríamos un argumento válido, también sólido cuando se le atribuye un significado. palabras. Sin embargo: el significado no importa en términos de la validez de un argumento o la prueba de un teorema; todo lo que necesita hacer es aceptar como hipótesis un conjunto de axiomas y establecer algunas reglas de inferencia. Las tablas de verdad para casos simples pueden ilustrar la idea.

Entonces, los teoremas son verdaderos porque hay líneas de razón válidas que nos llevan de vuelta a un conjunto de axiomas. En otras palabras, no pueden no ser ciertas (dentro de un sistema formal dado).

En otras palabras, son tautologías.

Por eso no dicen nada.

Un teorema es verdadero con respecto a los axiomas y las reglas de inferencia que usa porque un teorema es una serie de aplicaciones de esas reglas de inferencia en esos axiomas.