¿Qué conjunto es más pequeño? Conjunto de números naturales N o conjunto de números racionales Q?

Ambos son infinitamente contables.

El conjunto de números naturales:
[matemáticas] 1, 2, 3, 4, \ ldots [/ matemáticas]

El conjunto de números racionales:
[matemáticas] \ frac 0 1, \ frac 1 1, \ frac {-1} 1, \ frac 1 2, \ frac {-1} 2, \ frac 2 1, \ frac {-2} 1, \ frac 1 3, \ frac 2 3, \ frac {-1} 3, \ frac {-2} 3, \ frac 3 1, \ ldots [/ math]

Es claramente posible establecer una biyección (una correspondencia uno a uno) entre estos dos conjuntos, es decir, entre cada elemento en la lista de racional y su posición en esta lista (que es un número natural).

[matemáticas] 1 \ rightarrow \ frac 0 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ rightarrow \ frac 1 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 \ rightarrow \ frac {-1} 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ldots [/ matemáticas]

Los conjuntos infinitos tienen la propiedad contraintuitiva de que dos conjuntos infinitos pueden tener el mismo tamaño (es decir, existe una correspondencia uno a uno entre sus elementos) a pesar del hecho de que uno es un subconjunto apropiado del otro.

El conjunto de números naturales N y el conjunto de números racionales Q proporcionan un ejemplo de esta propiedad. Otro ejemplo más simple es el conjunto de enteros pares y el conjunto de enteros. A pesar del hecho obvio de que el conjunto de enteros pares es un subconjunto apropiado del conjunto de todos los enteros, los dos conjuntos tienen el mismo tamaño en el sentido de que sus elementos están en correspondencia uno a uno.