¿A qué es igual [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math]?

Parece haber una división en cómo se entiende la función de potencia inversa (raíz).

Para abrir mi punto, permítanme ilustrar con un problema:

[matemáticas] \ sqrt {x ^ {2}} = (x ^ {2}) ^ \ frac {1} {2} = x [/ matemáticas]

en este ejemplo, el valor bajo el signo radical se define explícitamente como x², no z donde x² = z

[matemáticas] \ sqrt {z} = z ^ \ frac {1} {2} = R_ {z ^ \ frac {1} {2}} = \ left \ {x; -x \ right \} [/ math]

Parece haber un extraño acuerdo entre muchas personas de que el símbolo radical representa la raíz principal, no las raíces generales, lo que puede ser una convención problemática, ya que permite probar que un número positivo es un número negativo de la siguiente manera:

[matemáticas] x = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {9} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ 3 = -3 [/ matemáticas]

Si definimos [math] \ sqrt {x} = \ left | x ^ \ frac {1} {2} \ right | [/ math] podemos evitar esto y lo anterior se convierte en

x = -3

[matemáticas] \ sqrt {\ left | x \ right | ^ 2} = \ left | x \ right | [/matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda | x \ derecha | ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {9} = \ left | 3 \ right | [/matemáticas]

[matemáticas] \ izquierda | 3 \ derecha | = \ left | -3 \ right | [/ math]

El problema es que ahora tenemos definiciones contradictorias de lo que significa [math] \ sqrt {x} [/ math], mientras que una de ellas está disponible de manera fácil e inequívoca usando los corchetes de valor absoluto cuando se usa la convención [math] \ sqrt {x} = x ^ \ frac {1} {2} [/ math] en lugar de [math] \ sqrt {x} = \ left | x ^ \ frac {1} {2} \ right |. [/ math]

Hay una definición especial de una raíz “principal” para un número, que es un tipo especial de raíz, es la raíz “real” y “sin signo” de un número.

El símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] puede definirse como que significa “la raíz principal de …”, pero al tratar con él, recuerde conservar esta propiedad cuando denote su resultado.

O la respuesta es [matemáticas] | x | [/ matemáticas] o las respuestas son [matemáticas] \ pm x [/ matemáticas]. Lo que elija depende completamente de la convención que adopte para lo que escriba como sqrt .

Me parece que la mayoría de los matemáticos de hoy parecen adoptar la convención de que el símbolo [math] \ sqrt {\ cdot} [/ math] significa el número positivo que, al cuadrado, da el argumento de [math] \ sqrt {\ cdot} [/ math]. También tienden a usar [matemáticas] (\ cdot) ^ {\ frac 12} [/ matemáticas] para significar [matemáticas] \ pm \ sqrt \ cdot [/ matemáticas]. Pero es meramente una convención, y de ninguna manera es universal.

Ahora, su pregunta es sobre sqrt en lugar de [math] \ sqrt {\ cdot} [/ math] o [math] (\ cdot) ^ {\ frac 12} [/ math]. Hasta donde sé, esa notación no tiene una convención matemática, por lo que puedes elegir la tuya propia. Por otro lado, en la mayoría de los lenguajes de programación que tienen una función sqrt definida, se define para significar lo mismo que [math] \ sqrt {\ cdot} [/ math] por lo que siempre da un resultado no negativo (para un no – entrada real negativa). Te sugiero que también adoptes esa convención, aunque cualquiera con algo de experiencia podrá entender rápidamente lo que quieres decir con el contexto de cómo lo estás utilizando.

El √ [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es x. El cuadrado y la raíz cuadrada se cancelan mutuamente.

O (como lo enseñó mi profesor de geometría)

Con 2 raíces (raíces cuadradas), busca pares de 2. Una sale del √ y la otra desaparece. Como es x ^ 2, eso significa que hay 2 x, que serían un par de 2, SOOOOO:

√x ^ 2

√x * x

x√ (x)

x√1

X

sqrt (x²) NO ES abs (x). ¡Este es un GRAN error que muchas personas cometen a menudo!
[math] \ sqrt {x ^ 2} = abs (x) [/ math] es verdadero si [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]. ¡En números complejos, es una cosa muy diferente!

Para un número [math] x \ in \ mathbb {C} [/ math] ([math] x = a + i * b [/ math])
[math] c [/ math] está escrito en formato polar como [math] x = re ^ {i \ theta} [/ math] donde [math] r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta = arg (x) [/ matemáticas].
Esto lleva a [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {{r ^ 2 (e ^ {i \ theta})} ^ 2} = \ sqrt {r ^ 2} \ sqrt {{e ^ {( i \ theta)}} ^ 2} = abs (r) e ^ {i \ theta} [/ math].

——-
Offtopic : Lo curioso es … A menudo confundo [math] \ sqrt {x} = x ^ {1/2} [/ math] como ayudó al desarrollo anterior. ¡Muy divertido!…. hmmm? …

La mayoría de las respuestas dicen algo como “Espero que quieras decir …”, o “depende de la convención”. Esto no es correcto. El problema es que √ (x) tiene diferentes definiciones, dependiendo del campo en el que esté operando. En el campo real (y en el racional), √x significa, por definición, “el número no negativo que …”, en el campo complejo significa “el conjunto de todos los números que …”. Entonces, en el campo real √ (x ^ 2) = | x |, en el campo complejo √ (x ^ 2) = {x, -x}.

[matemáticas] \ quad \ sqrt {x ^ 2} = \ begin {cases} x & \ text {if $ x> 0 $} \\ 0 & \ text {if $ x = 0 $} \\ – x & \ text {if $ x \ lt0 $} \ end {cases}, [/ math]

es decir

[matemáticas] \ quad \ sqrt {x ^ 2} = | x |. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ matemáticas]

Esto se debe a que el signo radical significa que tomará la raíz principal, es decir, el número positivo. SI x es positivo, el valor absoluto de x sigue siendo x. SI x es negativo, la función de valor absoluto se vuelve negativa a positiva. Entonces ahí lo tienes.

EDITAR:

Cuando también consideramos el número complejo, las cosas se vuelven mucho más complicadas. Pero la raíz cuadrada se basa en gran medida en su definición. Lo más probable es que esté considerando la raíz cuadrada principal.

En el caso de números complejos, el valor también es x o -x, solo que no puede ser representado por el signo de valor absoluto, porque eso significa otra cosa en número complejo (módulo: distancia desde el origen)

Es [matemáticas] | x | [/ matemáticas].

Pero (para contribuir de alguna manera pequeña al consenso general) es más intuitivo pensar con el ejemplo que como una variable.

[matemáticas] 4 ^ 2 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {16} = 4 [/ matemáticas]

Si [math] x [/ math] es positivo, [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] es igual a [math] x [/ math].

Pero, ¿y si [matemáticas] x = -6 [/ matemáticas]? (por ejemplo)

Entonces [math] x ^ 2 = 36 [/ math], y [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] es [math] -x [/ math] (porque se volteó el signo)

En particular, no vemos una i aquí para valores negativos o positivos, y [math] \ sqrt0 = 0 [/ math], por lo que [math] | x | [/ math] también tiene un sentido intuitivo.

√ (± x) ² = l ± xl = x

siempre.

esto se debe a una regla en matemática, que existe porque si (± x) ² es siempre positivo (entonces √ (x) ² = √ (-x) ²), y si √ (± x) ² = ± x podríamos probar que -x = x, que está mal. Aquí está la reorganización para eso:

√ (x) ² = x

√ (-x) ² = (-x)

√ (-x) ² = √ (x) ² (regla matemática ((± x) ² = x²)

(-x) = x

Y esto no puede suceder: todas las matemáticas se desmoronarían. Lo que hicieron los matemáticos cuando se produjo este problema fue idear el término valor absoluto (lxl) y decir que incluso si x era negativo al cuadrarlo, la raíz cuadrada siempre será positiva porque:

lxl = l-xl = x

Y:

√ (x) ² = √ (-x) ² = l ± xl = x

Depende de cómo defina [math] \ sqrt (x) [/ math]

Con la definición restrictiva de [math] \ sqrt (x), \ forall x \ in \ mathbb R ^ +, y = \ sqrt (x) \ Leftrightarrow y \ gt 0 \ land y ^ 2 = x [/ math].

Luego

[matemáticas] \ forall x \ in \ mathbb R, sqrt (x ^ 2) = \ left | x \ right | [/ math]

o, en otros términos,

[matemáticas] \ forall x \ in \ mathbb R ^ +, sqrt (x ^ 2) = x \ land \ forall x \ in \ mathbb R ^ -, sqrt (x ^ 2) = -x [/ math]

Pero también puede definir [math] \ sqrt (x) [/ math] de manera más flexible, especialmente si desea definirlo sobre [math] \ mathbb C [/ math]: [math] \ forall x en \ mathbb C, y = sqrt (x) \ Leftrightarrow y ^ 2 = x \ Leftrightarrow y = x ^ \ frac {1} {2} [/ math]

Esta definición es útil ya que no se pueden comparar números complejos, por lo que no existe un número complejo positivo o negativo. Sin embargo, tenga en cuenta que, en esta definición, [math] \ sqrt (x) [/ math] no es una función stricto-sensu sino una llamada función multivalor, porque si [math] \ sqrt (x) = y [/ math] luego [math] \ sqrt (x) = -y [/ math].

En esa definición,

[math] \ forall x \ in \ mathbb C, sqrt (x ^ 2) = x \ land sqrt (x ^ 2) = -x [/ math]

La respuesta será ± x, porque el cuadrado de cualquier número negativo es positivo. Entonces el cuadrado de -x o + x será el mismo, es decir, x². La raíz de x² no es más que (x²) ½. 2/2 se cancela y la respuesta permanece es ± x.

| [matemáticas] x [/ matemáticas] | Es decir, solo el valor absoluto de [matemáticas] x [/ matemáticas]. El radical indica la raíz cuadrada principal , que es solo la solución positiva de la ecuación cuadrática correspondiente. Es decir, [matemática] \ sqrt {y} [/ matemática] es la solución positiva [matemática] x [/ matemática] de [matemática] x ^ 2 = y [/ matemática], aunque esa ecuación tenga 2 soluciones (a menos que [ matemáticas] y = 0 [/ matemáticas]). (Se vuelve un poco más complicado si se permite que [math] y [/ math] sea negativo o imaginario, pero es razonable suponer que [math] x [/ math] en la pregunta es real).

[matemáticas] {\ sqrt {x ^ 2}} [/ matemáticas] = + x y -x

Explicacion:

La raíz cuadrada de cualquier número, positivo o negativo, siempre es positiva. Y esto puede ser una ecuación cuadrática de la forma a [math] {x ^ 2} [/ math] + bx + c = 0 donde a = 1 y b = c = 0 con 2 soluciones.

Por lo tanto, lo siguiente

[matemáticas] {(+ x) ^ 2} [/ matemáticas] = [matemáticas] {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] {(- x) ^ 2} [/ matemáticas] = [matemáticas] {x ^ 2} [/ matemáticas]

√x² = | x |

(La raíz cuadrada de x² es igual a mod x)

• Si x = positivo, entonces | x | = x
• Si x = negativo, entonces | x | = –x

El motivo básico es hacer x positivo.

Es igual al valor absoluto de x, o | x |. Esto se debe a que independientemente de si x es positivo o negativo, al cuadrar su valor garantiza que el radicando será positivo. Como la raíz cuadrada de un número positivo siempre será positiva, la respuesta debe ser el valor absoluto de x, o su distancia desde cero, que siempre es un valor positivo.

Sería igual a [matemáticas] X [/ matemáticas] aparentemente … una raíz es el proceso opuesto de una potencia, al igual que la suma es lo opuesto a la resta y la multiplicación es lo opuesto a la división. Si el número de la raíz es el mismo que el número de la potencia, entonces se cancelan entre sí de la misma manera que sumando un número X a un número A, luego restando el número X devuelve A (por ejemplo, [matemáticas] X-y + y = X [ /matemáticas])

¿A qué equivale sqrt ( [math] x ^ 2 [/ math] )?

La “función” de la raíz cuadrada suele tener varios valores, pero una de las raíces cuadradas de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] x [/ matemáticas].

Puede definir una función de raíz cuadrada de un solo valor eligiendo uno de los valores, generalmente el que tiene una parte real no negativa llamada valor principal. En el dominio de los números reales, [math] \ mathbb R [/ math], la raíz cuadrada principal a menudo se denota con un símbolo radical, en cuyo caso [math] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ math ] el valor absoluto de [matemáticas] x [/ matemáticas].

En el dominio de los números complejos, [math] \ mathbb C [/ math], escriba [math] x = u + iv [/ math] luego

[matemáticas] \ quad \ sqrt {x ^ 2} = | u | + \ begin {cases} iv & \ text {if $ u \ geq0 $} \\ – iv & \ text {if $ u \ lt0 $} \ end { casos} [/ matemáticas]

Hay dominios algebraicos más exóticos en los que las raíces cuadradas tienen sentido y en las que puede o no ser posible definir una raíz cuadrada principal. Sin embargo, en todos estos dominios, es seguro decir que * a * raíz cuadrada de [math] x ^ 2 [/ math] es [math] x [/ math].

Todo depende del valor de “x”.

Pero entonces, te respondería con otra ecuación, y tendrías que preguntar de nuevo aquí por la respuesta …

La respuesta es: sqrt (x ^ 2) = Abs (x)

(recuerde que un número negativo, cuando “al cuadrado”, se vuelve positivo …)

sqrt (x ^ 2) = x porque …

1. Método 1 – Prueba y falla

• Encuentra casos que funcionan y no funcionan

2. Método 2: porque si miras detenidamente, la raíz cuadrada y la cuadrada son opuestas entre sí, por ejemplo, cuadrado – tratando de multiplicar el número por sí mismo raíz cuadrada – tratando de encontrar un número que se cuadre a sí mismo. Debido a que son opuestos entre sí, podemos cancelar la raíz cuadrada y cuadrada porque la combinación de esos dos signos le dará el mismo resultado, incluso si no existe.

Por cierto, estoy bastante seguro de que puedes encontrar esta respuesta sin tener que publicarla en quora

Espero que esto ayude 🙂