¿Por qué la derivada de sin (x) es igual a cos (x), sin usar la definición de diferenciación, sino alguna explicación geométrica / intuitiva?

La definición más intuitiva de una derivada, en primer lugar, es que es una aproximación lineal de una curva. Geométricamente, esto pasa a ser la tangente de una curva en un rango infinitesimal. Tome cualquier curva en línea y amplíela tanto como pueda. Verás que están pixelados. Si logras ampliar el píxel, verás una línea recta, ¡la tangente!

Un error común que ocurre con esta interpretación es que la derivada de una curva puede dar lo que parece una curva. ¿Cómo es posible? Nuestra derivada es una tangente, que debería ser una línea recta. ¿No es así? Resulta que, la primera derivada de una ecuación de cualquier curva, es un atajo para encontrar la ecuación de la tangente que requerimos. Específicamente, en un punto [matemático] {x_0} [/ matemático] de la curva [matemático] f (x) [/ matemático], la tangente puede ser dada por:

[matemáticas] f ({x_0}) = x f ‘({x_0}) + c [/ matemáticas]

Ahora que, eso está fuera del camino, echar un vistazo a la curva senoidal y la curva coseno juntas produce

Ahora, eche un vistazo a la curva sinusoidal y observe sus pendientes en diferentes lugares. En x = 0, si intenta extender la curva al segundo cuadrante, podría ver que la pendiente sería una línea diagonal, cuya pendiente es 1. Tome nota de que la curva del coseno apunta a 1 en este punto donde x = 0.

Del mismo modo, intente y pruebe en algunos otros puntos obvios como. [matemáticas] x = \ pi / 2, \ pi, 3 \ pi / 2 [/ matemáticas]. Las líneas correspondientes tendrán las pendientes 0 (una línea plana), -1 (una línea diagonal que va desde la parte superior izquierda a la inferior derecha), 0 (una línea plana de nuevo) respectivamente. Los valores del coseno también encajan bien aquí.

Seno [matemática] \ pi / 4, \ pi / 3 [/ matemática], etc., son menos obvios, pero aún factibles. En [matemáticas] \ pi / 4 [/ matemáticas], la pendiente es ligeramente mayor que 0.5. No mágicamente, la pendiente se resuelve en [math] cos (\ pi / 4) [/ math], que es lo mismo que [math] sin (\ pi / 4) [/ math]. Pero por ahora, conocemos una curva común que puede acomodar todos los valores de x. Se puede aplicar una lógica similar para [math] \ pi / 3 [/ math] también.

No me he topado con una explicación “matemática” muy simple de eso y no estoy seguro de que exista. Entonces, lo que sigue es solo un montón de observaciones imprecisas e inconclusas, que sin embargo pueden aportar alguna idea. Comience con la pregunta “¿Qué es un derivado?”. La respuesta intuitiva a eso es que la derivada es una función que refleja qué tan rápido crece la función original (la derivada es positiva y cuanto más grande crece la función más rápida) o cae (la derivada es negativa y más baja cae la función más rápida). Luego mira la trama del pecado (x). Notarás que en todos los puntos donde sin (x) alcanza su máximo, es plano. ¿Por qué? Si es máximo, estaba subiendo antes y está cayendo después, por lo que debe estar plano al máximo exacto. Si es plano, entonces la derivada es 0. Exactamente el mismo razonamiento (pero opuesto) es mínimo. Luego puede observar que la pendiente de sin (x) cambia gradualmente, de plano al máximo, luego cae más y más rápido, cruza el eje y, disminuye gradualmente y es plano nuevamente al mínimo. Por lo tanto, su derivada debe comenzar en 0 donde sin (x) tiene un máximo, alcanzar su máximo donde sin (x) cae más rápido (cruza el eje y), alcanza 0 nuevamente como mínimo y luego comienza a subir nuevamente. Finalmente, observa la gráfica de cos (x) y se da cuenta de que su valor es 0 donde sin (x) tiene un máximo o un mínimo, tiene un valor máximo donde sin (x) crece más rápido y un mínimo donde cae sin (x) lo más rápido. Y en el medio cambia gradualmente a medida que cambia gradualmente la pendiente de sin (x). Entonces es muy posible que sea una derivada de sin (x).

Los números complejos son puntos en el plano [matemáticas] x, y [/ matemáticas]. Suponga que una partícula comienza en 1 y va en sentido antihorario alrededor del círculo unitario con una velocidad constante de 1. Este movimiento puede describirse mediante

[matemáticas] z (t) = e ^ {it}, [/ matemáticas]

donde [math] z [/ math] es la posición y [math] t [/ math] es el tiempo. Para que la partícula vaya en un círculo, sus vectores de posición y velocidad deben ser perpendiculares. Como la multiplicación por el número complejo i gira todos los puntos 90 grados, se deduce que

[matemáticas] z ‘(t) = es decir, ^ {it}. [/ matemáticas]

Esto proporciona una explicación geométrica intuitiva para la fórmula derivada de la función exponencial.

Las fórmulas derivadas para las funciones trigonométricas ahora siguen extrayendo las partes reales e imaginarias de ambos lados usando la fórmula de Euler

[matemáticas] e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t). [/ matemáticas]

Por ejemplo, la fórmula derivada para seno se obtiene tomando las partes imaginarias a ambos lados de mi ecuación para [matemáticas] z ‘(t). [/ Matemáticas]

No estoy seguro de si esto será demasiado avanzado para usted, pero aquí va: deje que [math] \ mathbf {\ alpha} [/ math] sea una parametrización de velocidad unitaria, en sentido antihorario del círculo unitario con [math] \ mathbf {\ alpha } (0) = (1,0) [/ matemáticas]. Es decir, [math] \ mathbf {\ alpha} (s) [/ math] es el punto en el círculo de la unidad a una longitud de arco [math] s [/ math] lejos del punto (1, 0) en sentido antihorario. Entonces [math] \ mathbf {\ alpha} (s) = (\ cos s, \ sin s) [/ math]. (Por cierto, así es como prefiero definir seno y coseno). Tenga en cuenta que [math] \ mathbf {\ alpha} (s) [/ math] es una función de valor vectorial.

El vector tangente en [math] \ mathbf {\ alpha} (s) [/ math] es [math] \ mathbf {\ alpha} ‘(s) [/ math]. Como la tangente al círculo es perpendicular al radio hasta el punto de tangencia y el movimiento es en sentido antihorario, tenga en cuenta que si [math] \ mathbf {\ alpha} (s) = (x, y) [/ math] , entonces el vector tangente [math] \ mathbf {v} [/ math] está en la dirección de [math] <- y, x> [/ math]. (Dibuje la imagen.) Dado que la curva es la unidad de velocidad, [matemática] \ lVert \ mathbf {v} \ rVert = 1 = \ lVert \ mathbf {\ alpha} (s) \ rVert [/ math], tenemos que el vector tangente es en realidad exactamente [matemáticas] <- y, x> [/ matemáticas]. Es decir, [math] \ cos ‘(s) = – \ sin (s) [/ math] y [math] \ sin’ (s) = \ cos (s) [/ math].

La definición de diferenciación es una explicación geométrica (un hecho básico que, si se aclarase cuando se introduce el cálculo por primera vez, haría que el aprendizaje de la geometría diferencial sea un proceso bastante más intuitivo más adelante).

Tengo una buena forma geométrica para mostrar que la derivada de y = sinx es cosx.

Este diagrama lo muestra, pero le recomiendo que vea el breve video de 4 minutos que hice.

El video repasa cada paso de una manera muy simple y fácil de seguir.

http://screencast.com/t/HQo0NJOWj

Trace las dos curvas en un par de ciclos (o simplemente búsquelo en Google y mírelo)

Observe primero que cuando uno es plano (derivada = 0), el otro está en 0. Luego observe que cuando uno está por encima de 0, el otro sube y cuando uno está por debajo de 0, el otro baja.

Esa es al menos una pista de que existe esta relación entre ellos.