Cualquier cosa que haga que se puedan medir más conjuntos y te diga cuál es la medida es algo bueno.
Debería haber recorrido un ejemplo de un conjunto no medible en [0,1] utilizando ahora el Axioma de elección. (Es el ejemplo de “elegir un representante de cada grupo de los racionales”). Estar atrapado con una medida externa (subaditiva pero no necesariamente aditiva) debido a cosas como esta sería malo, por lo que es realmente bueno saber cuándo eso no ocurrir.
Así es como usa medidas completas. El “cero” es solo un punto de referencia neutral, realmente. Si [matemática] A \ subconjunto E \ subconjunto B [/ matemática], donde solo se sabe que A y B son medibles y [matemática] m (A) = m (B) [/ matemática], entonces [matemática] m ( B \ setminus A) = 0 [/ matemáticas]. De ello se deduce que [math] m ^ * (E \ setminus A) = 0 [/ math], y solo porque la medida está completa se puede decir que [math] E \ setminus A [/ math] es medible, y por lo tanto el unión disjunta [matemática] A \ cup (E \ setminus A) = E [/ matemática] es medible.
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Quizás A podría ser una unión de subconjuntos compactos de E, y B podría ser una intersección de superconjuntos abiertos. Ese es el tipo de cosas que surgen mucho, pero no tengo ningún buen ejemplo para E de mi cabeza.
En realidad, es el caso de que revise algunas cosas abstractas para crear la “finalización” de cualquier medida dada, por lo que el peligro de que la aditividad no se extienda no es un peligro real. Los conjuntos que pueden ser aproximados por dos conjuntos de igual medida pueden arrojarse al álgebra sigma de forma gratuita sin causar daños, por lo que es común trabajar con medidas que son naturalmente completas, o seguir adelante y trabajar con la finalización del original. medida.
