¿Cuál es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer en términos simples?

No puedo esperar hacerlo mejor que la exposición de 5 páginas de Gunter Harder y Don Zagier dada aquí: http://people.mpim-bonn.mpg.de/z…

Las curvas elípticas son ecuaciones (más o menos) de la forma [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ matemáticas], que implica un término de grado 3. Estamos interesados ​​en encontrar enteros y fraccionarios (“racionales” ) soluciones a ecuaciones de esta forma y otras similares, por ejemplo [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = c [/ matemáticas].

Hay un proceso puramente mecánico que puede hacer en una curva elíptica para encontrar una serie infinita asociada, llamada serie L, y extender esta serie a una función que se define en todas partes. Harder y Zagier dan un ejemplo explícito de una serie L para [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = 5 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle L (s) = \ frac {1} {1 ^ s} – \ frac {2} {4 ^ s} – \ frac {4} {7 ^ s} + \ frac {5} {13 ^ s} + \ frac {4} {16 ^ s} + \ frac {8} {19 ^ s} + \ cdots [/ math]

Los coeficientes provienen de contar el número de soluciones que ocurren cuando intentamos resolver la ecuación usando aritmética modular (pero no directamente, por desgracia, así que no puedo dar un ejemplo explícito. Quizás en una edición posterior).

El valor [math] L (1) [/ math] es especial. Se puede demostrar que es un entero [matemático] S [/ matemático] multiplicado por un valor real [matemático] \ Omega [/ matemático] que se puede calcular a partir de una integral. ¡Eso significa que obtenemos [math] S [/ math] exactamente aunque nuestros valores para [math] L (1) [/ math] y [math] \ Omega [/ math] puedan ser aproximados!

Todo hasta este punto ya es conocido. La conjetura es que la curva elíptica tiene infinitas soluciones racionales, exactamente cuando [matemática] S = 0 [/ matemática].

Entonces, si toma su ecuación y hace un montón de cálculos (todos los cuales ya existen en los paquetes de matemáticas de la computadora hoy en día, sin pensarlo), puede reducirlo a un solo número, que se conjetura para decirle si solo hay finitamente muchas soluciones (incluida ninguna solución) o infinitamente muchas soluciones. Puede ver ejemplos del software Sage que hace esto aquí: Serie L para curvas elípticas

De hecho, ya sabemos la verdad en una dirección, que si [math] S \ neq 0 [/ math], entonces solo hay muchas soluciones finitas. La conjetura, si es cierta, nos informaría sobre el caso [math] S = 0 [/ math].

(Hay más profundidad en la conjetura que eso, si profundizamos un poco más, el comportamiento en [matemáticas] L (1) [/ matemáticas] también le dice el “rango” de la curva elíptica, que se relaciona con la densidad de soluciones. Lea el documento vinculado anteriormente, es bastante accesible.)