Para una prueba de “tamaño de mordisco”, también usaría el argumento diagonal de Cantor, que muestra que dos conjuntos infinitos tienen tamaños diferentes. Sin duda, hay un poco de trabajo en las piernas antes de llegar a esa prueba en sí, pero es muy ligero. Todo ese trabajo de piernas está en el sitio de Wikipedia que Quentin enlazó a continuación.
Pero, en nombre de acelerar las cosas, intentaré dar una idea de lo que el argumento hace un poco menos formalmente que Wikipedia. Necesito algo de terminología matemática, así que a modo de revisión:
- Los “números naturales” son solo los números que usa para contar: 1, 2, 3, etc. Quizás también los conozca como “números enteros”. Si desea incluir 0 como número natural, sea mi invitado. No cambiará nada. Los números naturales se denotan colectivamente [math] \ [/ math] mathbb [math] {N} [/ math]. Si agrega todos los negativos (es decir, -1, -2, -3, etc.), entonces está tratando con los enteros.
- Los “números racionales” son fracciones de enteros. Se pueden escribir en la forma [math] \ frac {p} {q} [/ math], donde tanto [math] p [/ math] como [math] q [/ math] son números enteros sin factores en común. (Y, por supuesto, [math] q [/ math] no puede ser igual a 0.) Los números racionales se denotan colectivamente [math] \ mathbb {Q} [/ math] (probablemente “Q” para “cociente” .) Tenga en cuenta que los racionales contienen los enteros y los naturales: simplemente establezca [math] q = 1 [/ math] en el denominador.
- Los “números reales” son difíciles de describir rigurosamente, pero informalmente son cualquier número que pueda escribir como decimal. El decimal no es necesariamente finito y no necesariamente se repite. Incluso menos formalmente, si eres un laico, casi cualquier número que se te ocurra es un número real (a menos que hayas oído hablar de los misteriosos “números complejos”, que no mencionaré aquí). Alternativamente, el Los números reales también se pueden describir informalmente como todo en la recta numérica. Los números reales se denotan colectivamente [math] \ mathbb {R} [/ math]. Tenga en cuenta que los números reales contienen los racionales.
Por lo general, cuando me meto en esto con laicos, doy dos proposiciones. La mayoría de los laicos piensan que ambos son obviamente verdaderos, o ambos son obviamente falsos:
Proposición 1: Hay el mismo número de números naturales que números racionales.
Proposición 2: hay el mismo número de números naturales que números reales entre 0 y 1.
Para ser justos, realmente no te he dicho lo que significa que un conjunto infinito tenga “el mismo número” de elementos que otro conjunto infinito. Pero significa lo que probablemente piense que significa: cuando dos conjuntos finitos tienen el mismo número de elementos, eso significa que puede emparejarlos de una manera individual, sin dejar nada sin emparejar en ninguno de los conjuntos.
De hecho, cuando lo piensas, eso es realmente todo lo que haces cuando cuentas. Si hay algunas manzanas con un número desconocido en una mesa y decides contarlas, ¿qué haces? Usted señala mentalmente a uno y dice “uno”, luego señala a otro y dice “dos”, etc. Crea una correspondencia entre el conjunto de manzanas en una mesa y el subconjunto {1, 2, 3, 4, 5} . Además, tenga en cuenta que tiene cuidado de no regresar y contar dos veces cualquier manzana, lo que significa que solo conserva la unicidad de la correspondencia.
Lo mismo es cierto con los conjuntos infinitos: si puede emparejar elementos de conjuntos infinitos de una manera uno a uno, donde no queda nada sin emparejar en ninguno de los conjuntos, entonces puede decir que los conjuntos tienen el mismo tamaño o el mismo Número de elementos. (Técnicamente, el término es que los conjuntos tienen la misma “cardinalidad”, pero evitemos la jerga. No la necesitamos aquí).
Solo como una pequeña práctica, considere dos conjuntos infinitos: los números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math], y los números pares (que denotaré [math] 2 \ mathbb {N} [/ math] ) Esos conjuntos tienen el mismo número de elementos. Para justificar esa afirmación, tengo que proporcionar una forma individual de emparejarlos. Lo haré ahora, pero tal vez piense en ello antes de leer el siguiente párrafo.
Si tiene un conjunto {1, 2, 3, …, n, …} y un conjunto {2, 4, 6, …, 2n, …}, es natural emparejarlos de manera que [matemática] n [/ matemática ] en los números naturales corresponde a [matemáticas] 2n [/ matemáticas] en los números pares. En otras palabras, si le doy un número par, puede recuperar instantáneamente el número natural correspondiente dividiendo el número par por la mitad. Si le doy un número natural, puede recuperar instantáneamente el número par correspondiente duplicándolo. Tenga en cuenta que esta correspondencia es genuinamente uno a uno: no es como si duplicar o reducir a la mitad un número pudiera dar dos respuestas distintas. Además, tenga en cuenta que todo en ambos conjuntos está emparejado: no es que haya algún número natural que no pueda duplicar, o algún número par que no pueda dividir por 2.
Solo para estar seguro, puede haber muchas otras formas de establecer esta correspondencia. Pero esta idea de duplicar / reducir a la mitad es la más natural para mí. Sin embargo, la razón por la que menciono esto es que a veces, cuando las personas se están acostumbrando a estos conceptos, intentan alguna forma aparentemente natural de emparejar dos conjuntos, solo para descubrir que no funciona. Luego concluirán que los conjuntos deben ser de diferentes tamaños, ya que el emparejamiento natural falló.
Pero eso no es suficiente. Para concluir que dos conjuntos son de diferentes tamaños, debe mostrar que entre todos los millones de posibles emparejamientos entre los conjuntos, ninguno de ellos funciona . Por analogía con un bloqueo de combinación, no es suficiente probar una combinación y, si falla, declarar que el bloqueo no se puede desbloquear. Entonces, quizás tengas la sensación de que es difícil demostrar que dos conjuntos infinitos tienen tamaños diferentes, ¡porque de alguna manera tienes que descartar un número infinito de posibles formas de emparejarlos!
Revise esas dos proposiciones ahora. ¿Qué piensas? Ambas verdad? Ambos falsos?
El campo de “ambos son evidentemente verdaderos” generalmente motiva, simplemente, que todos los conjuntos involucrados son infinitos, y tiene que haber alguna forma de emparejar cualquier conjunto infinito con cualquier otro conjunto infinito de una manera uno a uno. El campo “ambos son obviamente falsos” usualmente razona que hay muchas más razones que números naturales, porque [math] \ mathbb {Q} [/ math] contiene [math] \ mathbb {N} [/ math], y no hay buen análogo de nuestro truco de “duplicación” para emparejar los números naturales y pares. Del mismo modo, razonan que [math] \ mathbb {R} [/ math] contiene [math] \ mathbb {Q} [/ math], y tampoco hay una esperanza fácil de emparejarlos.
¡Resulta que la proposición 1 es verdadera y la proposición 2 es falsa! No entraré en la proposición 1. Simplemente busque en Google “la contabilidad de los racionales” y encontrará un buen diagrama. El argumento diagonal de Cantor es la proposición 2. Intentaré esbozarlo aquí, a pesar de que esta publicación ya es bastante larga y estoy casi seguro de que ya nadie está leyendo.
Vamos a ir con una prueba por contradicción. Es decir, supondremos temporalmente que existe un emparejamiento mágico entre los números naturales y los números reales entre 0 y 1. Luego, utilizando ese emparejamiento supuestamente existente, derivaremos una contradicción lógica. En particular, construiremos un número decimal entre 0 y 1 que no puede corresponder a ningún número natural a través del emparejamiento supuestamente existente. Eso significa que el emparejamiento no existe en primer lugar.
Bien, supongamos que tenemos un emparejamiento que asigna cada número natural con algún decimal entre 0 y 1. Piense en ello como una lista: la posición en la lista (primero, segundo, tercero, etc.) es el número natural, y luego la entrada en esa lista (cualquier decimal que haya) es el número real correspondiente entre 0 y 1.
Tenga en cuenta que no podemos suponer nada sobre la disposición de las entradas … no sabemos qué número real se combina con qué número natural. No sabemos si los números en la lista corresponden a números reales relativamente grandes o relativamente pequeños. Todo lo que sabemos es que es uno a uno, y cada uno de los decimales entre 0 y 1 aparece en algún lugar de esta lista.
Ahora, voy a construir un número decimal que difiere de la enésima entrada de la lista en el enésimo decimal . Ese bit en cursiva es todo el truco para la prueba. Si se confunde o se pierde en lo que sigue, regrese y lea esa oración. Llame al número que construiré [matemáticas] B [/ matemáticas], para “malo”. (Es decir, ¡es un número incorrecto porque no está en la lista!) Lo construiré decimal por decimal.
Considere el primer número real en nuestra supuesta lista. Tiene cierta expansión decimal, pero no sabemos de qué se trata. Pero mira su primer dígito decimal. Elegiré un número arbitrariamente: digamos 4. Si el primer dígito del primer número en nuestra lista es 4, entonces establezca el primer dígito de [math] B [/ math] como arbitrariamente 1. Si el primer dígito del primer número de nuestra lista no es 4, luego establezca el primer dígito de [math] B [/ math] en 4. El punto es, por construcción, [math] B [/ math] difiere del primer número en la lista.
Ahora haz el mismo truco con el segundo número de la lista, pero concéntrate en el segundo dígito decimal . Si ese dígito es 4, establezca arbitrariamente el segundo dígito de [math] B [/ math] en 1. Si el segundo dígito de nuestro segundo número real en la lista no es 4, configure el segundo dígito de [math] B [/ matemáticas] para ser igual a 4.
¡Y continúa este truco! ¿Cuál es el enésimo decimal de [matemáticas] B [/ matemáticas]? Mire la enésima entrada de la lista, luego mire su enésimo dígito. Si ese dígito es 4, entonces defina el enésimo decimal de B como 1, etc. Al enfocarnos en el enésimo dígito de la enésima entrada, vamos hacia abajo en la diagonal de la supuesta lista.
Que [matemáticas] B [/ matemáticas] no puede estar en la lista, pero visiblemente [matemáticas] B [/ matemáticas] es un decimal entre 0 y 1. Entonces la lista no debe existir, QED.
