Necesitamos encontrar [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n a_k [/ math], donde [math] a_k: = \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j [ /matemáticas].
En otras palabras, necesitamos encontrar [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j [/ math]
Si [math] x \ neq 1 [/ math], tenemos [math] \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j = \ dfrac {1-x ^ k} {1-x }[/matemáticas].
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Por lo tanto, si [math] x \ neq 1 [/ math] tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac {1-x ^ k} {1-x} = \ dfrac {1} {1-x} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n 1-x ^ k [/ math]
[math] = \ dfrac {1} {1-x} \ left (\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n 1- \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nx ^ k \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {1-x} \ left (nx \ dfrac {1-x ^ n} {1-x} \ right) [/ math]
Si [math] x \ neq 1 [/ math], tenemos [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j = \ dfrac {n} {1-x} -x \ dfrac {1-x ^ n} {(1-x) ^ 2} [/ matemáticas]
Si [matemática] x = 1 [/ matemática], entonces uno tiene [matemática] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} 1 = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk = \ dfrac {n (n + 1)} {2 }[/matemáticas]
En otras palabras, tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {k-1} x ^ j = \ begin {cases} \ dfrac {n} {1-x} -x \ dfrac {1-x ^ n} {(1-x) ^ 2} \ quad & \ text {if} x \ neq 1 \\ \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ quad & \ text {if } x = 1 \ end {casos} [/ math]
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
