¿Cómo se muestra rigurosamente que si [math] w ‘<w \ implica b ^ {w'} <b ^ {w} [/ math]?

El caso [math] b> 1 [/ math] o [math] b <1 [/ math] es muy importante, ya que esto es cierto para el primero y falso para el segundo (si [math] 0

En cuanto a cómo mostrar esto rigurosamente cuando [matemáticas] b> 1 [/ matemáticas], todo depende de cómo haya definido formalmente la exponenciación para comenzar. Pero presumiblemente, ya tienes a tu disposición o al menos puedes descubrir más fácilmente cómo mostrar que [matemáticas] b ^ x> 1 [/ matemáticas] para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] y que [matemáticas] \ frac {b ^ w} {b ^ {w ‘}} = b ^ {w – w’} [/ math], de lo cual el resultado se deduce directamente (según otros principios habituales sobre aritmética en general, que también supongo tienes disponible para ti …).

Por supuesto que importa. Si b <1, entonces no se cumple. 0 <1, pero 0.5 ^ 0> 0.5 ^ 1.

Para b> 1, simplemente se refiere a la definición de operación de potencia de números reales (x ^ y = exp (y * ln (x))), y usa el hecho de que ln (b) es positivo, y exp es un aumento función.

primero es fácil probar contraejemplos, como w ‘= 2; w = 3; b = -1, claramente (-1) ² = 1> (- 1) = (- 1) ³

Ahora solo elegiré un b positivo

[matemáticas] b ^ {w ‘}

entonces sí 0 1 son 2 casos diferentes y la fórmula solo es verdadera para b> 1

Tu pregunta está mal formulada. En primer lugar, t debe ser> = 1, si t <1, entonces el resultado es el opuesto. Además, si t es negativo, el resultado tampoco es necesariamente cierto.

Un problema de este tipo tiene un patrón de prueba bastante estándar, ejemplos típicos serían el teorema binomial o el teorema de De Moivre. (Para el caso, también podría probar la derivada de x ^ n = n * (x ^ (n-1) a partir de la inducción en los naturales y siguiendo este patrón de prueba).

1. Demuestre los números naturales + 0, luego demuestre los números enteros en general. A menudo se puede aplicar una prueba por inducción.
2. Demuestre potencias fraccionarias como 1 / n. En la pregunta, esto se puede probar asumiendo lo contrario y terminando en una contradicción.
3. Demuestre para los racionales p / q donde p / q son enteros. Esto es simplemente combinar los resultados 1 y 2 anteriores.
4. Probar para los reales. Esto es más complicado. Para un número real p, definimos el valor de t ^ p como el límite de una secuencia t ^ pn donde pn es una secuencia de ratonales convergentes a p. Podemos tomar dos secuencias pn, qn de racionales convergentes a py q, (p

1. La relación es incorrecta para 0
2. Simplemente tome el registro en ambos lados y calcúlelo, buscar más rigor es innecesario para tal pregunta.