No puedo responder en general y, lamentablemente, wikipedia es limitada. Trataré de explicar solo [matemáticas] K_0 [/ matemáticas] para lo cual tengo algo de confianza.
Básicamente, la teoría K topológica es una herramienta para describir paquetes de vectores en una variedad [math] X [/ math]. Consideramos que [math] K_0 (X) [/ math] es el conjunto de clases de isomorfías del paquete de vectores en [math] X [/ math]. Declaramos que [matemáticas] M = M_1 + M_2 [/ matemáticas] si tenemos una secuencia exacta
[matemática] 0 \ rightarrow M_1 \ rightarrow M \ rightarrow M_2 \ rightarrow 0 [/ math]
Extendemos [matemática] K_0 (X) [/ matemática] tomando también el opuesto del paquete de vectores (y por lo tanto de dimensión negativa) y luego obtenemos una estructura de grupo en [matemática] K_0 [/ matemática]. El grupo superior [matemática] K_i [/ matemática] también se puede construir y hay una sorprendente periodicidad en la teoría K topológica, que se construyó hace mucho tiempo.
Para el punto de vista algebraico, uno debe considerar que los paquetes de vectores corresponden a módulos proyectivos. Entonces podemos considerar módulos proyectivos sobre un anillo [matemático] R [/ matemático] y construir un grupo [matemático] K_0 (R) [/ matemático] de la misma manera.
Para un anillo de enteros Dedekind, todos los módulos son proyectivos y se describen como [math] I \ oplus R ^ {n-1} [/ math] con [math] I [/ math] un ideal fraccional. Entonces el grupo [math] K_0 (R) [/ math] es la suma de [math] Z [/ math] y el grupo de clase de [math] R [/ math]. La teoría K algebraica superior demostró ser más difícil de definir topológicamente, pero esto finalmente fue realizado por Daniel Quillen.
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Hay muchas construcciones relacionadas y, sorprendentemente, han encontrado aplicaciones en física.
