Aunque no especifique el límite de interés, cualquier límite finito puede evaluarse directamente mediante sustitución, incluyendo [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} [/ matemáticas].
Por lo tanto, consideramos [math] \ lim_ {x \ to \ infty} [/ math]. La respuesta no es obvia, así que trabajamos a través de los pasos.
Primero, reorganizamos algebraicamente:
- ¿Por qué sigo olvidando las tablas de matemáticas?
- ¿Cuál es la fórmula general para la función con una asíntota de y = n?
- ¿Cuál es el significado de la compactación Stone-Cech?
- ¿Qué dijo David Hilbert sobre el teorema de incompletitud de Godel?
- ¿Cuál es la matemática de los tsunamis?
[matemáticas] xe ^ {- 2x} = \ frac {x} {e ^ {2x}} [/ matemáticas]
Si intentamos [math] \ lim_ {x \ to \ infty} [/ math] [math] xe ^ {- 2x} = \ frac {x} {e ^ {2x}} [/ math] obtenemos la forma indeterminada [math] \ frac {\ infty} {\ infty} [/ math], a la que se aplica la Regla de l’Hopital. Entonces organizamos el límite de manera que podamos aplicar la regla:
Dejar
[matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = e ^ {2x} [/ matemáticas].
Luego,
[matemática] f ^ \ prime (x) = 1 [/ matemática] y [matemática] g ^ \ prime (x) = 2e ^ {2x} [/ matemática].
Reescribimos nuestro límite en términos de f (x) yg (x):
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} xe ^ {- 2x} = lim_ {x \ a 0} \ frac {x} {e ^ {2x}} = lim_ {x \ a 0} \ frac {f ( x)} {g (x)} [/ matemáticas]
Luego, usando la regla de l’Hoptical
[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {f (x)} {g (x)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {f ^ \ prime (x )} {g ^ \ prime (x)} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {2e ^ {2x}} = 0 [/ matemáticas]
Claramente, 1 es constante y se divide entre [matemática] 2e ^ {2x} [/ matemática] que crece sin límite, por lo que la respuesta llega a cero.
