Sí y no: sí, si su dominio es compacto; No si no
Nota: [math] \ mathrm {d} x [/ math] es la medida de Lebesgue
La idea: recuerde que una ecuación diferencial de Sturm-Liouville en un dominio [math] U \ subset \ mathbb {R} ^ n [/ math] es una ecuación de la forma,
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[matemáticas] – (pu ‘)’ + qu = \ lambda u [/ matemáticas]
para alguna función mensurable, integrable al cuadrado [math] u \ en L ^ {2} (U) [/ math] y un valor propio [math] \ lambda [/ math]. Hagamos esto un poco más abstracto para que podamos ver esto como un problema de álgebra lineal.
Ahora podemos definir el operador,
[matemáticas] L: L ^ 2 (U) \ flecha derecha L ^ 2 (U), \ quad L (u) = – (pu ‘)’ + qu [/ matemáticas]
a cuál se refiere como [matemáticas] L [/ matemáticas] el Operador Sturm-Liouville . Este operador es autoadjunto o Hermitean, lo que significa que en muchos casos, uno puede “diagonalizar” al operador en relación con alguna base de función. Como tal, nuestra ecuación se convierte en un problema de valor propio [0],
[matemáticas] Lu = \ lambda u [/ matemáticas]
Al estudiar el operador resolutivo [math] (L- \ lambda) ^ {- 1} [/ math], es sencillo pero tedioso mostrar que [math] L [/ math] es un operador compacto si [math] U [ / math] es compacto [1]. Tenga en cuenta que nuestro objetivo se ha convertido en “buscar [matemáticas] L ^ {- 1} [/ matemáticas]”
En general, siempre es posible escribir la solución de tal ecuación en términos de convolución con un núcleo integral [2] Ahora para un hecho más fuerte [3]:
El operador Sturm-Liouville es un operador integral compacto si f [math] U [/ math] es compacto
Tenga en cuenta que el concepto de una base de Fourier solo tiene sentido si un operador es compacto (en el sentido del teorema generalizado de Arzelá-Ascoli [4]; tenga en cuenta que el teorema espectral para operadores compactos juega un papel), incluso en el caso de Haar medir en grupos de mentiras. Como se puede probar el Teorema de Plancharel [5] en el contexto general de un grupo de Lie localmente compacto y abeliano, para todos los propósitos y propósitos de ODE / PDE, podemos suponer que la compacidad de un operador es equivalente a la existencia de una base de Fourier. Veamos un contraejemplo para el caso de [math] L ^ 2 (\ mathbb {R}) [/ math] (recuerde: [math] \ mathbb {R} [/ math] no es compacto!).
Considere la ecuación diferencial, [matemáticas] Lu = -u ” + u [/ matemáticas]
En este caso, [matemática] p = q = 1 [/ matemática] y la solución [6] es:
[matemáticas] L ^ {- 1} (u) (x) = \ frac {1} {2} \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- | xy |} u (y) \ mathrm {d} y [/ matemáticas]
Hay un argumento más formal (ver [6]) pero voy a dar el que es a) más fácil de imaginar yb) el que puedo emitir en la parte superior de mi cabeza. Suponga por contradicción que [math] L ^ {- 1} [/ math] es compacto. Considere la siguiente secuencia de funciones, [math] \ {f_n (x) \} _ {n \ in \ mathbb {N}} [/ math],
[math] f_n (x) = \ sqrt {\ frac {1} {2n}} \, \ times \, \ mathbf {1} _ {[- n, n]} [/ math]
donde [math] \ mathbf {1} _ {[- n, n]} [/ math] es la función del indicador.
Está claro que [math] \ lim_ {n \ uparrow \ infty} f_n = 0 [/ math] y [math] \ forall n, f_n \ en L ^ 2 (\ mathbb {R}) [/ math] ya que,
[math] \ int _ {\ mathbb {R}} | f_n | ^ 2 \ mathrm {d} x = \ frac {1} {2n} \ cdot 2n = 1 [/ math]
Una de las definiciones equivalentes de un operador compacto es que si [math] \ {u_n: u_n \ in L ^ 2 (\ mathbb {R}), \ Vert u_n \ Vert \ leq 1, n \ in \ mathbb {N} \} [/ math] es una secuencia acotada, entonces [math] L ^ {- 1} [/ math] es compacto si [math] L ^ {- 1} (u_n) [/ math] tiene una subsecuencia de Cauchy. Claramente, este no es el caso de la secuencia [math] \ {f_n \} [/ math] y tenemos una contradicción.
[0] Excepto que nuestra matriz que actúa en un espacio vectorial de dimensión finita se ha convertido en un operador que actúa en un espacio vectorial de funciones de dimensión infinita
[1] Análisis aplicado, JK Hunter y B. Nachtergaele, pág. 268
[2] Análisis aplicado, JK Hunter y B. Nachtergaele, pág. 270
[3] Análisis armónico de medidas de probabilidad en hipergrupos, WR Bloom y H. Heyer, Sección 3.5
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Arz…
[5] Análisis de Fourier en grupos, W. Rudin, p. 26-32
[6] Análisis aplicado, JK Hunter y B. Nachtergaele, págs. 272-273
