El integrando dado se puede simplificar de la siguiente manera,
Divide y multiplica por [math] 2 [/ math] y usa la identidad
[matemáticas] 2 \ sin (C) \ sin (D) = \ cos \ left (\ dfrac {DC} {2} \ right) + \ cos \ left (\ dfrac {D + C} {2} \ right) [/matemáticas]
- ¿Cuál es el valor de verdad de: [matemáticas] \ existe n \ in \ N, \ forall X \ in \ mathcal {P} (\ N), | X | <n [/ math]?
- Para [math] abc = 1 [/ math], ¿es cierto que [math] \ sum \ limits_ \ text {cyc} \ frac {1} {a + 3} \ geq \ sum \ limits_ \ text {cyc} \ frac {a} {a ^ 2 + 3}? [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ implica \ sin (x) \ sin (2x) \ sin (3x) = \ dfrac {[\ cos (x) – \ cos (3x)] \ sin (3x)} {2} [/ matemáticas]
Nuevamente divida y multiplique por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y esta vez use la identidad
[matemáticas] 2 \ sin (C) \ cos (D) = \ sin \ left (\ dfrac {D + C} {2} \ right) + \ sin \ left (\ dfrac {CD} {2} \ right) [/matemáticas]
para simplificar [matemáticas] \ cos (x) \ sin (3x) [/ matemáticas]
y use [math] 2 \ sin (A) \ cos (A) = sin (2A) [/ math] para simplificar
[matemáticas] \ sin (3x) \ cos (3x) [/ matemáticas]
Entonces el integrando se convierte
[matemáticas] \ dfrac {\ sin (4x) + \ sin (2x) -sin (6x)} {4} [/ matemáticas]
Ahora esto es fácil de calcular.
[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle {\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin (x) \ sin (2x) \ sin (3x) dx = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin (4x) + \ sin (2x) -sin (6x)} {4} dx} [/ math]
[matemáticas] \ implica \ boxed {\ displaystyle {\ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin (x) \ sin (2x) \ sin (3x) dx = \ dfrac {1} {6}}} [/ matemáticas]
