El grupo de monstruos es el grupo simple esporádico más grande. Su orden es aproximadamente [matemático] 8 \ veces 10 ^ {53} [/ matemático].
Durante la segunda mitad del siglo XX, los matemáticos clasificaron todos los grupos simples finitos. (Un grupo simple es un grupo con solo dos subgrupos normales: el grupo trivial y el grupo mismo). Estos grupos se dividieron en 18 familias infinitas:
– Grupos cíclicos de primer orden
– Grupos alternos de orden superiores a 4
– 16 familias de grupos de tipo Lie
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y otros 26 grupos que no encajaban en ninguna de estas categorías. Estos 26 grupos se llaman ‘grupos esporádicos’ y el grupo Monstruo es el más grande entre ellos.
El grupo de monstruos ganó fama no solo por su gran tamaño sino también por su misteriosa conexión con la función J.
La función J es una función modular para [math] SL_ {2} (\ mathbb {Z}) [/ math] definida en el medio plano superior, es decir, satisface
[matemáticas] J (z) = J (\ frac {az + b} {cz + d}) \ quad, \ quad z> 0 [/ matemáticas]
para [matemática] a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} [/ matemática] tal que [matemática] ad-bc = 1 [/ matemática].
Claramente [matemáticas] J (z) = J (z + 1) [/ matemáticas] para que podamos escribir su expansión de Fourier. Es (con [matemáticas] q = e ^ {2 \ pi iz} [/ matemáticas]):
[matemáticas] J (z) = \ frac {1} {q} + 196884 q + 21493760 q ^ 2 +… [/ matemáticas]
Los coeficientes de Fourier de la función J resultan tener una agradable descomposición en términos de dimensiones de representaciones irreducibles del grupo Monster (196883, 21296876, …):
196884 = 196883 + 1
21493760 = 21296876 + 196883 + 1
y así….
Esta conexión misteriosa entre los coeficientes de la función j y las representaciones irreducibles del grupo Monster fue descubierta por primera vez por John Conway en 1978 cuando trabajaba en el grupo Monster y las formas modulares en diferentes días de la misma semana. Esta conexión siguió siendo un misterio hasta 1992, cuando Richard Borcherds dio una forma natural de pensar usando ideas de álgebras de operadores de vértices y teoría de cuerdas bosónicas.
Borcherds, por su trabajo en la monstruosa luz de la luna, ganó una Medalla Fields en 1998.
