Esta pregunta tiene su origen en la confusión entre lo que significa que algo sea un elemento (o miembro ) de un conjunto y lo que significa que algo sea un subconjunto de un conjunto.
Puede ser que un miembro [math] X [/ math] del conjunto [math] A [/ math] sea un conjunto por derecho propio (a menudo lo es, en algún nivel, aunque no nos preocupamos demasiado por eso la mayor parte del tiempo) También puede ser que la intersección de [matemáticas] X [/ matemáticas] (como un conjunto) con [matemáticas] A [/ matemáticas] no esté vacía. Si esa intersección no está vacía y, de hecho, es igual a [matemática] X [/ matemática] (siempre que ciertas condiciones sobre “fundamento correcto” sean ciertas), entonces sucede que [matemática] X [/ matemática] también es un subconjunto de [matemáticas] A [/ matemáticas]. Por ejemplo, si [matemática] X = \ {a, b \} [/ matemática] y [matemática] A = \ {a, b, \ {a, b \} \} [/ matemática], entonces [matemática ] X \ en A [/ math] y [math] X \ subseteq A [/ math] son afirmaciones verdaderas.
Tenga en cuenta que [math] a \ en A [/ math], pero [math] a \ not \ subseteq A [/ math]; más bien, [matemáticas] \ {a \} \ subseteq A [/ matemáticas]. Tenga en cuenta la diferencia de notación aquí y lo que significan las llaves!
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El conjunto vacío es el conjunto sin elementos. Se define como [math] \ emptyset: = \ {\} [/ math].
Suponga que [matemática] A = \ {a \} [/ matemática] y [matemática] B = \ {a, b \} [/ matemática]. Entonces la diferencia [matemática] A \ setminus B = \ {a \} \ setminus \ {a, b \} = \ {\} = \ emptyset [/ math].
La diferencia de [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] es el subconjunto más grande de [matemática] A [/ matemática] que no contiene ninguno de los elementos de [matemática] B [/ matemática]. Como el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto, este es un posible resultado de restar dos conjuntos entre sí. En particular, es el resultado de [matemáticas] A \ setminus B [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] A \ subseteq B [/ matemáticas], o (de manera equivalente) si [matemáticas] A \ copa B = A [ /matemáticas].
