Los corchetes [] significan (como se menciona en la imagen) la mayor función entera (GIF).
Al igual que si aplicamos el GIF a un número como 2.71828 (denotado como [2.71828]), obtendremos 2 ya que es el mayor entero menor o igual a 2.71828.
Luego, para encontrar el poder de ‘p’, vemos cuántos números del 1 al ‘n’ son divisibles por ‘p’. Dichos números son múltiplos de ‘p’. El número de tales números es el poder de ‘p’ en n! (Esto se debe a que, en n! Los números del 1 al ‘n’ se multiplican y, por lo tanto, el poder de ‘p’ ‘es el número de veces que cualquier múltiplo de’ p ‘aparece en el recuento 1,2,3,4 … n.)
¿Cómo sabemos cuántos múltiplos de ‘p’ hay menos de ‘n’? El GIF proporciona una solución fácil para esto. Simplemente dividimos ‘n’ por ‘p’ y tomamos el mayor número entero menor o igual a él (precisamente la función del GIF). Entonces hay [n / p] poderes de p en n !.
Entonces, nuestra cuenta del número de potencias de ‘p’ en n! es [n / p].
¡Pero espera!
Los números como p ^ 2 contienen dos potencias de ‘p’. Entonces, entre la mayoría de los grupos de números divisibles por ‘p’, existen números que son divisibles por ‘p’ nuevamente (por lo tanto, en efecto, son divisibles por p ^ 2). Y, todavía no hemos contado tales poderes ‘sobrantes’ de ‘p’.
Entonces, ¿qué hacemos para contar esos poderes adicionales de ‘p’ que dejamos fuera la primera vez?
Simplemente vemos cuántos múltiplos de ‘p ^ 2’ hay entre los números del 1 al ‘n’ y sumamos su cuenta a nuestra cuenta original.
Entonces, la nueva cuenta es: [n / p] + [n / p ^ 2].
Uno podría preguntarse si deberíamos duplicar el recuento de números divisibles por ‘p ^ 2’ y luego agregarlo al recuento final.
¡Pero no! Dichos números ya se han contado una vez al contar los números divisibles por ‘p’. Por lo tanto, solo debemos contarlos una vez más y, por lo tanto, en efecto, se habrían contado dos veces. (Uno debe prestar atención a este pequeño punto).
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Podríamos razonar lo mismo nuevamente con respecto a los números que contienen una tercera potencia de ‘p’ y agregarlos también. Tales números se han contado dos veces y solo necesitan contarse una vez más (porque cada número que es divisible por ‘p ^ 3’ también es divisible por ‘p’ y ‘p ^ 2’. Lo mismo ocurre con todos los demás poderes de ‘p ‘.
Entonces, nuestra cuenta total y correcta (¡hurra!) Debe ser [n / p] + [n / p ^ 2] + [n / p ^ 3] …
¿Podría alguien darme la sintaxis requerida en látex para que yo pueda representar mejor las matemáticas? gracias por adelantado. 🙂
