El truco de Buffalo Way ayuda a demostrar esta desigualdad.
Deje que [matemática] a = \ frac {y} {x} [/ matemática], [matemática] b = \ frac {z} {y} [/ matemática] y [matemática] c = \ frac {x} {z} [/ math], donde [math] x [/ math], [math] y [/ math] y [math] z [/ math] son números reales positivos.
Por lo tanto, equivalente a la desigualdad original, tenemos que demostrar que
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[matemáticas] \ sum \ limits _ {\ text {cyc}} \ frac {x ^ 3-x ^ 2y} {(3x + y) (3x ^ 2 + y ^ 2)} \ geq 0. [/ math]
Ahora, dejemos que [math] x = \ min \ {x, y, z \} [/ math], [math] y = x + u [/ math] y [math] z = x + v [/ math].
Por lo tanto, tenemos que demostrar que,
[matemáticas] 128 (u ^ 2-uv + v ^ 2) x ^ 7 + 16 (16u ^ 3 + 23u ^ 2v-15uv ^ 2 + 16v ^ 3) x ^ 6 + 32 (8u ^ 4 + 27u ^ 3v + 12u ^ 2v ^ 2-11uv ^ 3 + 8v ^ 4) x ^ 5 + 4 (32u ^ 5 + 193u ^ 4v + 266u ^ 3v ^ 2-42u ^ 2v ^ 3-33uv ^ 4 + 32v ^ 5) x ^ 4 + 2 (8u ^ 6 + 178u ^ 5v + 435u ^ 4v ^ 2 + 152u ^ 3v ^ 3-99u ^ 2v ^ 4 + 30uv ^ 5 + 8v ^ 6) x ^ 3 + uv (45u ^ 5 + 375u ^ 4v + 291u ^ 3v ^ 2-83u ^ 2v ^ 3 + 57uv ^ 4 + 3v ^ 5) x ^ 2 + 2u ^ 2v ^ 2 (24u ^ 4 + 66u ^ 3v-18u ^ 2v ^ 2 + 13uv ^ 3 + 3v ^ 4) x + u ^ 3v ^ 3 (18u ^ 3-6u ^ 2v + 3uv ^ 2 + v ^ 3) \ geq 0, [/ math]
lo cual es cierto ya que cada uno de los coeficientes en el polinomio anterior en [math] x [/ math] no es negativo . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
PD: Soy el OP de esta pregunta, agotó las solicitudes de Quora y finalmente obtuve la solución.
