Esto se conoce específicamente como la propiedad de identidad aditiva, y 0 es el elemento de identidad aditivo, lo que significa que cuando se agrega 0 a cualquier elemento del conjunto subyacente en el que se define +, el resultado es idéntico a ese elemento. También hay un elemento de identidad multiplicativo 1.
En un sentido más general, donde se está considerando alguna operación que no sea la suma o la multiplicación (como la unión de conjuntos), la propiedad de identidad terminológica y el elemento de identidad se usan típicamente sin ningún descriptor adicional.
Para tener la propiedad de identidad, el mismo elemento debe funcionar en ambos lados. Este es el caso de la suma en conjuntos ordinarios de números, porque dicha suma es conmutativa, por lo que, por supuesto, a + 0 = 0 + a .
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Para la resta no hay elemento de identidad, aunque a – 0 = a para todos los números a , pero 0 – a = a solo para el caso especial a = 0, y la propiedad de identidad requiere que el mismo elemento de identidad funcione para todos a . Algunas personas se refieren a esta situación como una resta que tiene un elemento de identidad derecha porque la propiedad funciona cuando el elemento se coloca a la derecha pero quizás no siempre a la izquierda. Sin embargo, no es necesaria la conmutatividad de la operación. Por ejemplo, tome el conjunto de todas las matrices 3 × 3 en números reales. En general, no tenemos AB = BA . Sin embargo, hay un elemento de identidad multiplicativo, a saber, la matriz de identidad, denotada como I , cuya primera fila es 1 0 0, la segunda fila es 0 1 0 y la tercera fila es 0 0 1, de modo que para todas las matrices 3 × 3 AI = A = IA .
