¿Cómo se puede probar que [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – \ left \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ right \ rfloor = 1 / 2 [/ matemáticas]?

Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2-x + 1 = (x- \ frac {1} {2}) ^ 2+ \ frac {3} {4} [/ matemáticas], lo que significa que

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – (x- \ frac {1} {2}) = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – \ left \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ right \ rfloor = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} x- \ frac {1} {2} – \ left \ lfloor x ^ 2-x + 1 \ right \ rfloor [/ math]

Para valores grandes de [matemática] x [/ matemática], [matemática] (x-1) ^ 2

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} x- \ frac {1} {2} – \ left \ lfloor x- \ frac {1} {2} \ right \ rfloor = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty } x- \ frac {1} {2} – (x-1) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Sin embargo, esto solo es cierto si [math] x [/ math] está restringido a enteros. Si no lo está, [math] \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – \ left \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ right \ rfloor [/ math] va entre [math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ math] infinitamente.

Definamos

[math] g: \ mathbb R \ to \ mathbb R, x \ mapsto \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ rfloor [/ math]

Al principio se puede ver que en el segundo término de [matemáticas] g [/ matemáticas], el término entre paréntesis cumple las desigualdades

[matemáticas] \ forall x> 1: x-1 = \ sqrt {x ^ 2-2x + 1} <\ sqrt {x ^ 2-x + 1}

Entonces la función de piso conduce a

[matemáticas] h (x): = \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ rfloor = \ begin {cases} x-1 \ text {for} x \ in \ mathbb N \\ \ lfloor x- 1 \ rfloor \ lor \ lfloor x \ rfloor \ text {de lo contrario} (*) \ end {cases} [/ math]

El caso marcado con (*) cambia de una posibilidad a otra cerca de un número justo en la mitad entre dos enteros. Por ejemplo

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} x & = & 1000000.4999996 \ Rightarrow h (x) = 999999, g (x) \ approx 0.999999975 \\ x & = & 1000000.4999997 \ Rightarrow h (x) = 1000000, g (x) \ aproximadamente 0.000000075 \ end {eqnarray *} [/ math]

Entonces, la función [matemática] g (x) [/ matemática] ondula entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática].

Por lo tanto, el límite no existe. Solo si uno restringe el dominio de la función [matemática] g [/ matemática] a los números naturales, el límite tiene sentido.

Con

[matemáticas] x ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + \ frac 1 4 + \ frac 3 4 = \ left (x- \ frac 1 2 \ right) ^ 2 + \ frac 3 4 [/ math]

y la restricción mencionada [math] x \ in \ mathbb N [/ math] se llega al límite

[matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ sqrt {x ^ 2-x + 1} – \ lfloor \ sqrt {x ^ 2-x + 1} \ rfloor = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} x- \ frac 1 2 – (x-1) = \ frac 1 2 [/ math]

Gracias por A2A.

No puede probar esto porque no es cierto asumiendo la definición estándar del límite. Considere que la cuadrática es positiva, por lo que aumenta a medida que x crece. Esto es cierto después de la raíz cuadrada. Restar la parte entera de una función creciente hará que los resultados recorran los reales entre 0 y 1 indefinidamente, por lo que esta expresión nunca converge a un valor particular.