¿Qué es x en (a ^ x) ^ 2 = (a ^ 4) ^ 3?

Como otros han dicho, normalmente puede suponer [matemáticas] (a ^ x) ^ 2 \ equiv a ^ {2x} [/ matemáticas] y [matemáticas] (a ^ 4) ^ 3 \ equiv a ^ {12} [/ matemáticas ] entonces tenemos:

[matemáticas] \ quad a ^ {2x} = a ^ {12} [/ matemáticas]

Esto no le permite concluir [matemáticas] 2x = 12 [/ matemáticas]. Por ejemplo, [math] a = 1 [/ math] permitiría el valor [math] x = 1 [/ math], es decir [math] (1 ^ 1) ^ 2 = (1 ^ 4) ^ 3 [/ math ] con ambos lados iguales a uno. De hecho, para [math] a = 1, x [/ math] puede ser cualquier número entero.

Para que [math] a [/ math] sea un número natural mayor que uno, podemos concluir [math] 2x = 12 [/ math] y, por lo tanto, [math] x = 6 [/ math].

Para que [math] a [/ math] sea miembro de [math] \ mathbb R, \ mathbb C [/ math], o alguna estructura algebraica más exótica, debemos tener mucho más cuidado con la exponenciación. En los números reales o complejos [matemática] a ^ x [/ matemática] generalmente se define como [matemática] \ exp (x \ cdot \ ln a) [/ matemática] y el logaritmo natural tiene múltiples valores, lo que puede conducir a soluciones adicionales ya que el valor elegido no necesita ser el mismo en cada lado de la igualdad.

Regla exponente:

[matemáticas] \ en caja {(a ^ b) ^ c = a ^ {b \ veces c}} [/ matemáticas]

Para

[matemáticas] (a ^ x) ^ 2 = (a ^ 4) ^ 3 [/ matemáticas] es lo mismo que:

[matemáticas] a ^ {2x} = a ^ {12} \ mid \ log_ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x = 12 \ mid \ div 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ subrayado {x = 6} [/ matemáticas]

(Simplemente supuse que [math] a [/ math] es un número real positivo, de modo que la función [math] \ log_ {a} [/ math] puede estar bien definida).

¿Qué es x en (a ^ x) ^ 2 = (a ^ 4) ^ 3?

Simplifique primero: (a ^ x) ^ 2 = a ^ (2x), (a ^ 4) ^ 3 = a ^ 12. Entonces parece que 2x = 12 yx = 6.

Esto no depende de un (pero si x resultó no ser un número entero, necesitaríamos un para ser positivo).

(Nota: estoy seguro de que lo sabe, pero por si acaso (a ^ 4) ^ 3 no es lo mismo que a ^ (4 ^ 3).)

Usando propiedades de exponente, la ecuación se simplifica a

[matemáticas] \ displaystyle {a} ^ {2x} = {a} ^ {12} [/ matemáticas]

Ahora, podemos tomar el logaritmo de la base [math] a [/ math] en ambos lados, y luego resolver para [math] x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ log_ {a} ({a} ^ {2x}) = \ log_ {a} ({a} ^ {12}) [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle 2x = 12 [/ matemática] (simplificación usando propiedades de logaritmo)

[matemáticas] \ displaystyle x = 6 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto no funciona para todos los casos, como Alan Bustany ha dicho con razón. Esto solo funcionaría si [matemática] a [/ matemática] [matemática]> 1 [/ matemática] cuando [matemática] a [/ matemática] es un número natural. Si [math] a [/ math] [math] = 1 [/ math], entonces puede haber cualquier solución entera para [math] x [/ math], por ejemplo.

Entonces, para la mayoría de los casos, [math] x = 6 [/ math]. Sin embargo, el valor de [math] a [/ math] juega un papel en lo que es [math] x [/ math] y, como resultado, puede haber muchas soluciones al problema. Simplemente se encuentra con el valor de [math] a [/ math].

Espero que esto ayude.

Creo que sería así:

PD. Estoy abierto a correcciones.

tenemos

(a ^ m) ^ n = a ^ (mn)

por lo tanto, a ^ 2x = a ^ 12

o 2x = 12

o x = 6

Creo que (a ^ 4) ^ 3 = a ^ 12. Entonces, dado (a ^ x) ^ 2 = a ^ 2x, nos da 2x = 12, x = 6. Espero que sea correcto y espero que yo no esté haciendo tu tarea por ti tampoco.

x ^ 2 = 4 ^ 3

x ^ 2 = 64

x = 8 o x = -8