¿Cuáles son algunos resultados y hechos importantes de la teoría de Galois?

Siempre es muy difícil responder esas preguntas para un público diverso con antecedentes desconocidos. Aquí hay algunas respuestas posibles, cada una defectuosa a su manera.

La respuesta laica

La teoría de Galois es una teoría matemática que se ocupa de la simetría y, más específicamente, de la simetría de los “sistemas algebraicos” como los números racionales, los números complejos, los números racionales con la raíz cuadrada de 3 espolvoreados -top, etc.

La teoría surgió del deseo de comprender las soluciones a las ecuaciones polinómicas, pero resultó ser mucho más útil y general. El resultado más fundamental de la teoría de Galois describe una relación entre simetrías y estructuras preservadas; le dice que si desea comprender una estructura algebraica del tipo apropiado (llamada “extensión de campo”), puede estudiar las simetrías de esa estructura, y la complejidad del conjunto de simetrías le informa de la complejidad de la estructura. sí mismo.

En algunos casos, las simetrías se pueden construir de una manera bastante simple, lo que le dice que la extensión de campo se puede construir de una manera bastante simple, lo que significa que ciertas ecuaciones polinómicas se pueden resolver echando raíces. En otros casos, las simetrías no se pueden construir de manera tan simple, por lo que los polinomios correspondientes no se pueden resolver con raíces y otras cosas.

La misma teoría se puede aplicar a las construcciones geométricas por regla y compás, del tipo que fue de gran interés para los antiguos griegos. La teoría de Galois nos dice que puedes construir pentágonos regulares y hexágonos regulares con una regla y una brújula, y también un gon 17 regular, pero no puedes construir un heptágono regular (7 lados). Tampoco puede triseccionar la mayoría de los ángulos (dividirlos en tres partes iguales), y no puede construir un cubo con el doble del volumen de un cubo dado.

Y finalmente, no puede cuadrar el círculo, aunque aquí también necesita un resultado que no sea del todo la teoría de Galois, a saber, la trascendencia de [math] \ pi [/ math].

[Este sería el lugar para poner una imagen gratuita. La búsqueda de términos relacionados en las imágenes de Google produce ecuaciones aburridas, imágenes de jóvenes Évariste Galois, chistes y muchas cosas sin relación. Fui con broma.]

La respuesta de estudiante de matemáticas

Se supone que el estudiante de matemáticas ya sabe qué campos, grupos y polinomios son. Para llegar a los resultados interesantes, primero tenemos que pasar por un montón de definiciones, pero eso nos costará el 95% de nuestros lectores, un precio que no estamos dispuestos a pagar. Entonces, aquí está la versión ondulada a mano.

El resultado fundamental de la teoría de Galois discute el siguiente escenario. Tiene un campo grande [matemáticas] E [/ matemáticas], y contiene un campo pequeño [matemáticas] F [/ matemáticas], y se cumplen algunas condiciones técnicas. Consideramos el grupo [matemáticas] G [/ matemáticas] de todas las asignaciones [matemáticas] E \ a E [/ matemáticas] que mantienen intacto el subcampo [matemáticas] F [/ matemáticas]. Este grupo tiene todo tipo de subgrupos, y la teoría de Galois nos dice que para cada uno de esos subgrupos [matemáticas] 1 \ leq H \ leq G [/ matemáticas] hay un campo correspondiente [matemáticas] F \ subseteq L \ subseteq E [/ matemáticas] . Cuanto más grande es el grupo, más pequeño es el campo: de hecho, [matemáticas] H [/ matemáticas] es solo el conjunto de simetrías de [matemáticas] E [/ matemáticas] que mantienen no solo [matemáticas] F [/ matemáticas] sino [ matemática] L [/ matemática] sin tocar.

De esto se deduce que las cadenas de subgrupos corresponden a cadenas de campos, por lo que construir un campo grande agregando elementos de una manera simple (como extraer raíces) corresponde a construir el grupo de simetría de una manera simple (usando extensiones cíclicas), desde el cual De ello se deduce que una ecuación polinómica es solucionable en radicales si y solo si el grupo de Galois de su campo de división es un grupo solucionable (uno que puede construirse parcheando grupos cíclicos).

Otros resultados y hechos importantes son la existencia y la singularidad de la división de campos, las nociones de grados de extensión, la existencia de elementos primitivos y, más adelante, las aguas más profundas de la teoría infinita de Galois, la no separabilidad y mucho más.

Aquí hay alguna consecuencia en álgebra lineal numérica.

Para [math] n \ geq 5, [/ math] no existe un algoritmo directo para calcular los valores propios de una matriz [math] n \ times n [/ math] .

Aquí, un algoritmo directo significa uno que involucra solo sumar, restar, multiplicar, dividir y tomar raíces [math] k [/ math] -th de las entradas de la matriz, y proporciona los valores propios exactos después de muchos pasos (suponiendo todas las operaciones se pueden hacer exactamente).

La razón de la inexistencia de tales algoritmos es porque calcular los valores propios de ciertas matrices es equivalente a encontrar las raíces de un polinomio de variable única general. Para ser más explícitos, los valores propios de [matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 & & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & & -a_1 \\ & 1 & 0 & & & -a_2 \\ & & 1 & \ ddots & & \ vdots \\ & & & \ ddots & 0 & -a_ {n-2} \\ & & & & 1 & -a_ {n-1} \ end {bmatrix} [/ math] son exactamente las raíces de [matemáticas] p (z) = z ^ n + a_ {n-1} z ^ {n-1} + \ cdots + a_1 z + a_0 [/ matemáticas], que no tiene una fórmula de solución en términos de suma, resta, multiplicación, división y toma [matemática] k [/ matemática] -th raíces de los coeficientes [matemática] a_0, \ ldots, a_ {n-1} [/ matemática], según la teoría de Galois.

El resultado más famoso de la teoría de Galois es que no hay una solución general en los radicales para una quintica. Es decir, no hay equivalente a la fórmula cuadrática para las quínticas (polinomios de grado 5).

Hay soluciones generales en radicales para cúbicos y cuárticos (y obviamente cuadráticos), pero no para grados 5 o superiores.

FT – JS Milne

Estas notas dan una exposición concisa de la teoría de los campos, incluida la teoría de Galois de las extensiones finitas e infinitas y la teoría de las extensiones trascendentales.