Descargo de responsabilidad : mi experiencia con este tema proviene principalmente de un seminario en geometría hiperbólica. No soy un experto en el campo, pero parte de mi investigación de la teoría de cuerdas está relacionada con las inclinaciones de [math] D [/ math] -branes; vea [0] para ver un ejemplo (¡hay fotos!).
TL; DR: Estás bastante correcto.
En su mayor parte, se necesita mucha intuición física y / o geométrica para obtener la intuición para los problemas de mosaico. Recordemos que Roger Penrose fue un matemático que pasó gran parte de su carrera estudiando Relatividad general. Según tengo entendido, la principal motivación de Penrose para observar las inclinaciones de Penrose fue considerar los espacios con una curvatura gaussiana estrictamente negativa [1]. Un ejemplo simple de tal espacio que los profesionales de la relatividad general tienden a estudiar mucho es el espacio Anti de Sitter (AdS) . Esto se puede definir como un espacio con curvatura negativa máxima que intrínsecamente tiene un número máximo de simetrías (que se describen mediante vectores de eliminación ). Aquí hay una imagen de AdS (compárela con la esfera de curvatura positiva en la imagen):
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Sin entrar en más detalles físicos, los espacios hiperbólicos (espacios de curvatura negativa) son de interés para los físicos porque describen los tiempos espaciales con una constante cosmológica negativa (universo en contracción) y pueden describir ciertos tipos de agujeros negros.
Quizás se pregunte por qué me estoy enfocando en espacios con curvas negativas; esto se debe a que los químicos y los cristalógrafos de rayos X descubrieron prácticamente todas las celosías en espacios compactos curvos y positivamente comunes (esferas, toros). Los matemáticos como Bieberbach hicieron que muchos de estos resultados empíricos fueran más rigurosos y, como tal, tenemos una mejor comprensión de los espacios curvos positivos [2]. Además, esto hace que los espacios con curvas positivas sean más fáciles de estudiar y para muchos matemáticos no producen ideas interesantes y novedosas.
Entonces, ¿por qué un matemático quiere estudiar inclinaciones? El estudio de la geometría hiperbólica (que incluye inclinaciones del espacio hiperbólico, que puede modelarse en el plano complejo de la mitad superior o el disco de Poincaré) es de interés fundamental porque ha producido resultados que conectan las matemáticas profundas con la física teórica. Las inclinaciones son importantes porque a menudo se pueden describir como las órbitas de algún grupo finito en [math] \ mathbb {C} [/ math], dándoles interesantes propiedades de simetría [3]. Además, las inclinaciones pueden darle a uno una forma intuitiva de estudiar ciertos grupos y / o sus múltiples grupos.
Como tal, el estudio de las inclinaciones es una mezcla de álgebra, análisis complejo y, sí, dibujar muchas imágenes. ¡Incluso hay una relación con las ecuaciones diferenciales a través de los grupos fucsianos [4]!
¡Espero que esto ayude un poco!
[0] Aquí hay un documento de los expertos en este campo (D. Martelli, J. Sparks): http://inspirehep.net/record/683294
[1] Documento original de Penrose: http://www.citeulike.org/group/1…
[2] http://books.google.com/books?id…
[3] Buena introducción a la geometría hiperbólica (lo que usé en mi seminario): http://books.google.com/books?id…
[4] Un hermoso artículo sobre este tema (¡y más!): Http://www.ams.org/journals/bull…
