Antecedentes:
El conjunto de todas las secuencias binarias infinitas se llama espacio de Cantor, denotado por [math] 2 ^ {\ omega} [/ math]. [math] 2 ^ {\ omega} [/ math] puede interpretarse como el árbol binario infinito completo . Lleva una topología canónica generada por los conjuntos de cilindros [w], que consisten en todas las secuencias infinitas que extienden la cadena finita w.
Al identificar números reales con su expansión binaria infinita, también podemos interpretar elementos del espacio de Cantor como reales .
La medida de Lebesgue en el espacio de Cantor es inducida por la función
[matemáticas] \ lambda [w] = 2 ^ {- | w |} [/ matemáticas]
El paradigma básico de la teoría de la probabilidad es que el resultado típico de un experimento aleatorio (teóricamente) con distribución [matemática] \ lambda [/ matemática] (por ejemplo, secuencias infinitas de lanzamientos de monedas justos) forma un conjunto de Lebesgue medir uno.
Simplemente pongo otra implicación aquí para [math] P \ geq 0.99 [/ math], que incluye 1 y es útil en ciertos contextos.
Suponga que la máquina de Turing genera f [1] con probabilidad [math] \ epsilon> 0 [/ math]. Según el teorema de densidad de Lebesgue, existe una cadena finita [math] \ sigma [/ math], de modo que si arreglamos los primeros bits del oráculo (una fuente de aleatoriedad) para que sean exactamente [math] \ sigma [/ math], y luego obtenemos los otros bits al azar, luego calculamos f con probabilidad de al menos [matemáticas] 0.99 [/ matemáticas]
[1] f: para todo n, te dice cuántos ceros hay entre los primeros n bits de tu oráculo
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