Teorema (Lagrange). Si [math] G [/ math] es cualquier grupo finito y [math] H [/ math] es cualquier subgrupo de [math] G [/ math], entonces el orden de [math] H [/ math] divide el orden de [matemáticas] G [/ matemáticas].
Prueba . Defina una relación [math] {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H [/ math] en [math] G [/ math] de la siguiente manera:
para [matemáticas] a, b \ en G [/ matemáticas], [matemáticas] a \: {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod {H} \: b \ Longleftrightarrow a ^ {- 1} b \ en H \ ldots (\ star) [/ math]
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Entonces [matemática] {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H [/ matemática] es una relación de equivalencia en [matemática] G [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] reflexiva desde [matemática] e \ en H [/ math], simétrico ya que [math] H [/ math] contiene inversas de cada uno de sus elementos, y transitivo ya que [math] H [/ math] está cerrado [math]) [/ math]. Tenga en cuenta que cada una de las propiedades que caracterizan a un subgrupo se utiliza para demostrar que [math] {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H [/ math] es una relación de equivalencia ; si alguno de estos faltara en [matemáticas] H [/ matemáticas], esta relación no sería una relación de equivalencia .
Las relaciones de equivalencia en cualquier conjunto [math] S [/ math] naturalmente dividen el conjunto: hay una biyección entre el conjunto de relaciones de equivalencia en [math] S [/ math] y el conjunto de particiones de [math] S [/ math ]
Deje [math] [a] [/ math] denotar la clase de equivalencia que contiene [math] a [/ math] bajo la relación de equivalencia [math] {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H [/ math]. Afirmamos que
[matemáticas] [a] = aH: = \ {ah: h \ en H \} [/ matemáticas].
Cada [matemática] ah \ en aH [/ matemática] es equivalente a [matemática] a [/ matemática], ya que [matemática] a ^ {- 1} (ah) = h \ en H [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] aH \ subseteq [a] [/ matemáticas].
Si [matemática] g \ en [a] [/ matemática], entonces [matemática] a ^ {- 1} g = h \ en H [/ matemática], y entonces [matemática] g = ah \ en aH [/ matemática ] Por lo tanto, [matemáticas] [a] \ subseteq aH [/ matemáticas].
Esto prueba nuestra afirmación de que [matemáticas] [a] = aH [/ matemáticas]. Estas clases de equivalencia se denominan cosets izquierdos de [matemáticas] H [/ matemáticas] en [matemáticas] G [/ matemáticas].
Como las clases de equivalencia dividen el conjunto, [math] G [/ math] es la unión disjunta de [math] aH [/ math], ya que [math] a [/ math] se ejecuta sobre [math] G [/ math]. En particular,
[matemáticas] aH \ cap bH = \ begin {cases} aH, y a \: {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H \: b; \\ \ emptyset & a \ not {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H \: b. \ end {cases} [/ math]
y
[matemáticas] \ grande | G \ grande | = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ r \ big | a_iH \ big | \ ldots (1) [/ math]
donde [math] a_i \: \ not {\ equiv} _ {\ ell} \ bmod H \: a_j [/ math] para [math] i \ ne j [/ math].
El mapeo [math] f: aH \ rightarrow H [/ math] dado por [math] ah \ mapsto h [/ math] es una biyección (ejercicio!), Y entonces [math] \ big | aH \ big | = \ big | H \ big | [/ math] para cada [math] a \ en G [/ math]. Eqn. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] ahora da
[matemáticas] \ grande | G \ grande | = r \ cdot \ big | H \ big | [/ math], de modo que [math] \ big | H \ big | [/ math] divide [math] \ big | G \ big | [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
Si define una relación [matemática] {\ equiv} _r \ bmod H [/ matemática] en [matemática] G [/ matemática] como
para [matemáticas] a, b \ en G [/ matemáticas], [matemáticas] a \: {\ equiv} _r \ bmod {H} \: b \ Longleftrightarrow ab ^ {- 1} \ en H \ ldots (\ star \ estrella) [/ matemáticas]
y siga el mismo argumento, obtendrá el mismo resultado con la clase de equivalencia que contiene [math] a [/ math] siendo [math] Ha: = \ {ha: h \ in H \} [/ math] esta vez. Estas clases son las cosets correctas de [matemáticas] H [/ matemáticas] en [matemáticas] G [/ matemáticas]. El tamaño de cada coset derecho es nuevamente igual al tamaño de [math] H [/ math], es decir, [math] \ big | Ha \ big | = \ big | H \ big | [/ math] para cada [math] a \ en G [/ math]. Una prueba de esto se deja como ejercicio para el lector interesado .
