En primer lugar, puede verificar que [matemáticas] \ frac {1} {n (4n ^ 2-1)} = \ frac {1} {2n + 1} + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {n} [/ math]. Entonces, en lugar del problema original, tenemos tres problemas un poco más fáciles; encuentre la suma de [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {An + B} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. Introducir la función [math] f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n} [/ math]; necesitamos [math] f (-1) [/ math] para calcular la última de las tres sumas. Calcule [math] f ‘(x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1-x} [/ math]. Integrando encontramos [math] f (x) = – \ ln (1-x) [/ math] (tenga en cuenta que [math] f (0) = 0 [/ math]), entonces la última suma es [math] \ En 2 [/ matemáticas]. Ahora calculemos la segunda suma [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {2n-1} = – 1+ \ sum_ {n = 2} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n} {2n-1} = – 1- \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} [/ math], entonces es igual a -1 menos la primera suma (separé el primer término de la serie y luego cambié [matemática] n [/ matemática] por 1 en la suma restante, puede verificar la cancelación si escribe los términos de las dos primeras series explícitamente para [matemáticas] n = 1,2,3, \ ldots [/ matemáticas]). Entonces, el resultado final es [matemática] \ ln 2- 1 [/ matemática]. La cancelación de las dos primeras series es muy afortunada, de lo contrario tendríamos que calcular una [matemática] g (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {x ^ n} más complicada {2n + 1 } [/ math], que se puede hacer multiplicando [math] g (x) [/ math] por [math] \ sqrt {-x} [/ math], tomando la derivada, sumando el resultado, calculando la integral, etc. , y repitiendo lo mismo para el segundo término. También tenga en cuenta que numéricamente el resultado es aproximadamente -0.306853, y los dos primeros términos lo llevan dentro del 2% del resultado exacto (para verificar que el resultado exacto tenga sentido).
Cómo encontrar la suma de la serie [matemática] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n (4n ^ 2-1)} [/ math]
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Rompiendo la diferencia de cuadrados perfectos,
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {n \ left (4n ^ 2–1 \ right)} = \ frac {1} {n (2n + 1) (2n-1)} [/ math]
Entonces, si establecemos esto igual a
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {A} {n} + \ frac {B} {2n + 1} + \ frac {C} {2n-1} [/ math]
simplemente podemos aplicar el método de encubrimiento Heaviside para encontrar que
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {n (2n + 1) (2n-1)} = – \ frac {1} {n} + \ frac {1} {2n + 1} + \ frac {1} {2n-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n (2n + 1) (2n-1)} = \ sum \ limits_ { n = 1} ^ {\ infty} \ left (- \ frac {(- 1) ^ n} {n} + \ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} + \ frac {(- 1) ^ n} {2n-1} \ right) [/ math]
Como sabemos que la suma converge (compárela con [math] \ sum \ frac {1} {n ^ 3} [/ math] con los mismos límites), podemos decir que
[matemáticas] \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n (2n + 1) (2n-1)} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} \ right) + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(-1) ^ n} {2n + 1} \ right) + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ n} {2n-1} \ derecha) [/ matemáticas]
La primera de estas sumas es la conocida serie Alternating Harmonic, y es igual a [math] \ ln (2) [/ math]. Y podemos reescribir la tercera suma de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ n} {2n-1} \ right) & = \ sum \ límites_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {2 (n + 1) -1} \ right) \\ & = \ frac {(- 1) ^ {0 + 1}} {2 (0 + 1) -1} + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ {n + 1} } {2n + 1} \ right) \\ & = – 1- \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} \ right ) \ end {align} [/ math]
Sustituyendo estas dos cosas, encontramos que
[matemáticas] \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n (2n + 1) (2n-1)} = \ ln (2) + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} \ right) -1- \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty } \ left (\ frac {(- 1) ^ n} {2n + 1} \ right) [/ math]
Y tan claramente
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n \ left (4n ^ 2-1 \ right)} = \ ln ( 2) –1} [/ matemáticas]
s = 0
para n en rango (1,10000000):
s = s + 1 / (n * (4 * n ** 2-1))
huellas dactilares)
0.3862943611175727
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