Si tengo un teorema pero no tengo ninguna prueba de ello, pero tampoco puedes refutarlo, ¿no tiene valor?

La redacción original comenzó “Si tengo una teoría …” en lugar de la redacción actual “Si tengo un teorema …”. La diferencia es considerable. Contestaré la versión actual.

En matemáticas, un enunciado puede tener una prueba, y si lo tiene, se llama teorema. Si no hay prueba, no es un teorema.

Si tienes un enunciado matemático y tienes razones para creer que es verdad, es una conjetura. Algunas conjeturas eventualmente se convierten en teoremas cuando se suministra una prueba. Algunas conjeturas son eventualmente rechazadas porque alguien encuentra un contraejemplo o prueba la negación de la conjetura. Algunas conjeturas pueden nunca resolverse.

¿Tiene valor una conjetura? Ciertamente lo hace. Al intentar encontrar una prueba o contraejemplo, encontrará otras declaraciones que implica y otras que lo implican. Puede encontrar más ejemplos en los que se mantiene. Puede probarlo si agrega hipótesis para ello. Todas estas cosas son valiosas.

Tan importante como podría ser un teorema, una colección de teoremas relacionados es más importante.

O bien la pregunta había cambiado, o soy completamente analfabeta en inglés hasta el punto en que no puedo discernir las palabras “teoría” y “teorema” …

Editar. ¡Ajá! Gracias al profesor Joyce sé que no soy completamente analfabeta. Por lo tanto, hay respuestas en ambas preguntas.

El problema de su pregunta es que un teorema es siempre una afirmación probada en cierta teoría matemática. Una declaración aún no probada se llama conjetura y alguna declaración que no se puede probar ni probar se llama declaración independiente .

Su pregunta significa que en realidad no tiene un teorema, pero posiblemente puede tener una declaración indecidible (si se puede probar que no se puede refutar su declaración y tampoco se puede probar). Si realmente encontraste tal afirmación en una teoría matemática (o si estás seguro de que lo hiciste), ciertamente te aconsejaría que encontraras algún matemático y les mostraras esta afirmación. Si realmente es una declaración indecidible, la prueba de su indecidibilidad podría valer la pena publicar.

Me temo que ni siquiera tienes una teoría o no entiendes completamente qué es una teoría matemática.

Una teoría es, más o menos, un lenguaje de primer orden, digamos [math] \ mathcal {L} [/ math], con un número generalmente finito de símbolos funcionales y predicados, un cálculo de primer orden sobre él y algunos axiomas no lógicos.

Por ejemplo, si agregamos al cálculo clásico de primer orden estos dos axiomas:

1. [matemática] t = t, t \ en término _ {\ matemática {L}}; [/ matemática]
2. [matemáticas] (t = d \ supset (S ^ x_t (A) \ supset S ^ x_d (A))), t, d \ en el término _ {\ mathcal {L}}, x \ en IVar, A \ en forma_ {\ mathcal {L}} [/ math], [math] S ^ x_t (A) [/ math] es el resultado de la sustitución correcta de [math] t [/ math] en lugar de [math] x [/ math] en [matemática] A [/ matemática], [matemática] S ^ x_d (A) [/ matemática] es el resultado de la sustitución correcta de [matemática] d [/ matemática] en lugar de [matemática] x [/ matemática] en [ matemáticas] A; [/ matemáticas]

al deshacernos de los símbolos funcionales y reducir el conjunto de símbolos predicados a un solo símbolo binario [math] = [/ math], obtenemos la llamada teoría de la igualdad pura.

Una vez que lo haya obtenido, no hay necesidad de probarlo. Pero puede ser muy útil probar algo al respecto . Como consistencia (y de hecho es consistente) e integridad (y de hecho es completo ya que es simplemente un cálculo de primer orden con igualdad). Por lo general, (pero no en este caso) es muy útil probar algo en la teoría (es decir, algún teorema).

Tampoco se puede refutar una teoría. Uno solo puede descubrir que es inconsistente, lo que obviamente hará que esta teoría sea bastante inútil.

EDIT 2: La redacción original comenzó “Si tengo una teoría …” en lugar de la redacción actual “Si tengo un teorema …”. Mi respuesta es para la pregunta anterior.

Si es imposible, en principio, refutar, no tiene poder predictivo. (Si tuviera poder predictivo, los experimentos para probar esas predicciones podrían, en principio, refutarlo). Si no tiene poder predictivo, no tiene valor.

EDITAR: enmendaré mi respuesta. Hay algunos campos en los que podría valer la pena, incluidas las artes. Es posible que pueda usarse para estimular la imaginación, el intelecto y la curiosidad de las personas, incluso si no tiene poder predictivo.

Aquí al menos tres formas de comenzar:

• Si no puede probar ni refutar, ¿cómo sabe que es un teorema?
• Puede ser útil llamarlo una conjetura en lugar de un teorema. Los intentos de una prueba en algunos casos han llevado a un nuevo campo de las matemáticas, por ejemplo, como con la conjetura de Fermat.
• Discusión de Wittgenstein: “Si quieres saber qué prueba prueba, mira la prueba” (Philosophische Grammatik Chap 5, sección 24) donde en esencia (si no recuerdo mal) ve un teorema como una abreviatura para una prueba.

No, puede llevar a muchas cosas buenas. Cuando pienso en esta pregunta, pienso en cómo los ateos agnósticos ven la religión. No pueden probarlo ni refutarlo. Aunque creó orden e intentó difundir felicidad y amor por todo el mundo. Aunque también creó guerras como la Segunda Guerra Mundial. Entonces, en general, no sería completamente inútil siempre que tenga un impacto en alguien. Espero haberte ayudado.

Supongo que depende del campo al que quieras aplicarlo.

Si es científico, la respuesta sería no. Esto se debe a que uno de los principios principales en la investigación científica es el propuesto primero por Popper, el principio de Falsificabilidad; dice exactamente que, en el campo científico, se deben evitar teorías como la que usted describió.

De todos modos, podría valer la pena si, por ejemplo, proporciona una nueva forma de interpretar algo que ya sabemos que lleva a conclusiones invisibles. Tal vez podrías esforzarte más para demostrarlo, por cierto.