¿Cómo probar la fórmula de Taylor?

Hay muchas pruebas del teorema de Taylor. Pero la forma de serie infinita no es válida en general. Incluso si una función es diferenciable un número infinito de veces en [matemáticas] a [/ matemáticas], la serie de Taylor sobre [matemáticas] a [/ matemáticas] no necesita converger a la función excepto (trivialmente) en [matemáticas] a [/ matemáticas] en sí.

La prueba de la escuela secundaria es suponer que la función es diferenciable infinitamente y que la serie resultante converge a la función. También podría tomar [matemática] a = 0 [/ matemática] porque podemos cambiar la variable [matemática] x [/ matemática] a [matemática] t = xa [/ matemática]. Pero me quedaré con [matemáticas] a [/ matemáticas] porque no voy a escribir los detalles. Ponga [math] x = a [/ math] y tenga en cuenta que todos los términos se cancelan excepto el primero. Resuelva para el coeficiente principal [math] c_0 [/ math]. Obtienes [matemáticas] c_0 = f (a) [/ matemáticas]. Luego, diferencie ambos lados y repita para obtener [math] c_1 = f ‘(a) [/ math]. Repita add lib para obtener [math] c_n = \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} [/ Math].

Esta prueba es válida siempre que esté contento de hacer las suposiciones mencionadas anteriormente. Sin embargo, no está completo: aunque una suma finita se puede diferenciar término por término, esto no siempre se aplica a series infinitas. Sin embargo, se puede probar para series de potencia convergentes.

Aunque esta prueba no le ayuda a determinar si los supuestos son válidos para una función en particular, es valioso porque le muestra la forma de la serie cuando se cumplen los supuestos.

Una forma intuitiva de ver el teorema es como una secuencia de aproximaciones. La primera aproximación es una constante. La siguiente es la tangente a la función. La siguiente es la parábola osculadora (osculado = beso, tiene la misma curvatura que la función en [matemáticas] a [/ matemáticas]). Luego ajuste polinomios de grado superior y superior, cada uno de los cuales corresponda con más derivadas de la función en [math] a [/ math]. Si tiene en mente un error máximo permitido, entonces (con suerte, pero no necesariamente) el rango de valores de [math] x [/ math] para el que se alcanza este error se incrementa a medida que agrega más términos.

Esto lleva a la comprensión de que incluso si la serie infinita no converge, los polinomios de Taylor podrían aproximarse a la función en alguna región. Por lo tanto, escriba el resto como la diferencia entre la función y el polinomio Taylor [math] n [/ math] th. Queremos encontrar el resto en [matemáticas] x [/ matemáticas], por lo que no debemos diferenciar con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas], en cambio, el truco es diferenciar con respecto a [matemáticas] a [/ matemáticas] . Hay varias formas del resto basadas en esta idea que usan alguna forma del teorema del valor medio. Puede encontrar pruebas como esta en Wikipedia para que no escriba los detalles. Hay varias formas del resto. Solo dan un límite superior, pero eso es todo lo que necesitas. Para probar que la serie de Taylor infinita converge a la función (si lo hace) simplemente verifique que el resto tiende a cero.

Hay un resultado hermoso en un análisis complejo (que puede buscar por sí mismo), que si una función es diferenciable una vez en cada punto de un círculo pequeño (no importa cuán pequeño) sobre [matemáticas] a [/ matemáticas] entonces es diferenciable infinitamente a menudo y la serie de Taylor converge cerca de [math] a [/ math]. El radio de convergencia es la distancia al punto singular más cercano (donde la función no es diferenciable). Una función que se puede ampliar como serie de Taylor se llama función analítica.

de wiki peda: la serie Taylor de una función es el límite de los polinomios Taylor de esa función a medida que aumenta el grado, siempre que exista el límite