¿Cuál es realmente el logaritmo y cuándo lo usaremos?

Esta respuesta es larga, y me disculpo por mi falta de habilidades en LATEX, pero por favor tengan paciencia conmigo. Creo que el siguiente proceso de pensamiento es importante para cualquiera que quiera comprender la importancia y utilidad de los logaritmos y las funciones exponenciales. Si alguien que puede escribir LATEX desea corregir esta respuesta para que se vea mejor, por favor sea mi invitado.
Las funciones logarítmicas tienen gran importancia para el cálculo. Puedo mostrarle cómo surge naturalmente como consecuencia de tres métodos de intentar resolver el siguiente problema: encontrar una función cuya derivada sea ella misma, multiplicada por algún escalar. La motivación de este problema es facilitar la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, y puede conducir al desarrollo de la Transformación de Fourier, aunque no es necesariamente así como fue desarrollada por el propio Joseph Fourier. La Transformada de Fourier y las transformaciones relacionadas (como la Transformada de Laplace) son herramientas matemáticas poderosas que se pueden usar para resolver problemas aparentemente complejos, pero no los abordaré aquí porque son lo suficientemente largos.
1) En primer lugar, podemos simplificar el problema al considerar una función que es su propia derivada, de modo que el múltiplo escalar sea 1. Podemos escribir dF (x) / dx = F (x). También deberíamos tener una función inversa invF (ya que está claro que la función debe ser creciente y, por lo tanto, invertible) que satisfaga F (invF (x)) = invF (F (x)) = x. Diferenciando cada expresión, llegamos a
dF (invF (x)) / dinvF (x) * dinvF (x) / dx = dinvF (F (x)) / dF (x) * dF (x) / dx = 1
Pero como sabemos que dF (x) / dx = F (x), esto se simplifica a
F (invF (x)) * dinvF (x) / dx = dinvF (F (x)) / dF (x) * F (x) = 1
x * dinvF (x) / dx = 1
dinvF (x) / dx = 1 / x
invF (x) = antiderivado (1 / x)
F (x) = inv (invF (x)) = inv (antiderivada (1 / x))
2) Ahora, si consideramos tratar de tomar la derivada de una función exponencial B * a ^ x, tenemos
d (B * a ^ x) / dx = B * lim {h-> 0} ((a ^ (x + h) -a ^ x) / h) = B * a ^ x * lim {h-> 0 } ((a ^ h-1) / h)
Podemos ver que si elegimos un tal que este límite sea 1, entonces hemos resuelto el problema original. Supongamos que este límite con a = z se evalúa a 1, de modo que
F (x) = B * z ^ x
invF (x) = log (x) / log (z) -log (B) / log (z) (por la definición del logaritmo como el inverso de la exponenciación y las propiedades que se le aplican como tal)
3) Y finalmente, considere una solución que es una serie de potencias Suma (Ck * x ^ k, k sobre todos los números naturales con 0 (0,1,2,3,4)). Llame a ese conjunto N. Luego
d (Suma (Ck * x ^ k, k en N)) / dx = Suma (Ck * x ^ k, k en N)
El término donde k = 0 es constante, por lo que su derivada es 0. Y aplicando la derivada a los términos de potencia se obtiene
Suma (Ck * k * x ^ (k-1), k en N- {0}) = Suma (Ck * x ^ k, k en N)
Manipulando los índices de la izquierda, obtenemos
Suma (C (k + 1) (k + 1) x ^ k, k en N) = Suma (Ck * x ^ k, k en N)
Suma ((C (k + 1) (k + 1) -Ck) * x ^ k, k en N) = 0
Esto solo es cierto para todas las x si los coeficientes son 0, por lo tanto
C (k + 1) = Ck / (k + 1), que define
Ck = C0 / k!
Y por lo tanto
F (x) = Suma (C0 / k! * X ^ k, k en N) = C0 * Suma (x ^ k / k !, k en N)
Podemos deducir que la solución debe tener una sola forma y, por lo tanto, cada una de las tres soluciones que encontramos aquí es en realidad la misma función. Así,
F (x) = inv (antiderivada (1 / x)) = B * z ^ x = C0 * Suma (x ^ k / k !, k en N)
Evaluando en x = 0, podemos encontrar que C0 = B, y luego evaluando en x = 1, podemos encontrar que z = Suma (1 / k !, k en N) = 2.71828 …: = e, que se llama Euler número. Así,
F (x) = inv (antiderivada (1 / x)) = B * e ^ x
E invirtiendo, obtenemos
log (x) / log (e) -log (B) / log (e) = antiderivado (1 / x)
Espero que eso haya explicado no solo de dónde proviene la capacidad de calcular los logaritmos, sino también por qué son importantes y cómo surgen naturalmente de la consideración de los problemas fundamentales de cálculo.

Una función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Si [matemática] x ^ a = y [/ matemática], entonces [matemática] \ log_x (y) = a [/ matemática]. Si [matemática] x = 10 [/ matemática], es una estimación de cuántos dígitos necesitas para escribir el número. (Por ejemplo, [math] \ log_ {10} (1000) = 3 [/ math] y [math] \ log_ {10} 1000000 = 6 [/ math].

Hay muchos usos para ello. Tiene algunas buenas propiedades. Una muy importante es que convierte los productos en sumas. Para ver esto, puede verificar que [math] \ log_x (a \ cdot b) = \ log (a) + \ log (b) [/ math]. Esto significa que, cuando es difícil calcular un producto, puede tomar los logaritmos de todos los factores y sumarlos, y luego tomar la función exponencial de la suma para obtener el producto. Así es como funcionaban las reglas de cálculo, que era lo que los ingenieros usaban antes de las calculadoras de bolsillo.

En informática, los logaritmos se usan cuando tienes que multiplicar muchos números pequeños, por ejemplo, probabilidades. Multiplicar muchos números pequeños juntos no es trivial ya que los resultados se vuelven cada vez más pequeños y la computadora tiene límites en su precisión (si un número es demasiado pequeño, simplemente se redondea a 0). Si tiene dos de estos productos y desea saber cuál es más grande, es mucho mejor tomar el logaritmo de ambos, ya que de esta manera obtendrá números más manejables, que son más seguros de comparar.

Sé que hay muchas personas muy inteligentes con un profundo conocimiento de las matemáticas que pueden darle respuestas muy formales y sólidas a su pregunta. Sin embargo, no soy uno de ellos, pero sí vengo con consejos. Aquí hay un video que vi hace un tiempo que me ayudó a obtener una comprensión intuitiva de los logaritmos:

Ahora, este video comienza lento, pero vale la pena verlo todo. En la segunda mitad, necesitaba detener el video y pensar varias veces y volver a mirar ciertas partes una y otra vez para que la información se asimilara. Desde que veo este video, los trucos y saltos que puedes tomar con logaritmos ya no parecen tan desalentadores. Espero que esto te ayude tanto como me ayudó a mí. Los logaritmos son interesantes. 🙂

Oh, en cuanto a cuándo se va a usar, personalmente, estudio ciencias de la computación y, vaya, los logaritmos son relevantes. A menudo lo uso para determinar el algoritmo Big-O de los algoritmos, que es algo así como el tiempo que un programa podría tardar en recibir alguna información. A medida que se discuten algoritmos más complejos, los logaritmos pueden arrojarse mucho más. En cualquier caso, así es como yo personalmente uso logaritmos en mi vida.

El registro de un Número a una Base dada ES el Poder (índice)

A la que

La base se eleva para obtener (volver) el número.
ln (base) N = P entonces

(base) ^ P = N

P.ej. En (3) 81 = 4 y

3 ^ 4 = 81

Como en la multiplicación, se agregan potencias.
Los registros son poderes, por lo que también se agregan registros.
Log (a × b) = Loga + logb