Estás pidiendo motivación y luego cambias a “aplicaciones a formulación no analítica” (este último concepto no lo entiendo del todo). La motivación no necesita provenir de la aplicación; si no sabemos, incluso aproximadamente, cuántos primos hay menos de x, o cuántas matrices 0-1 de orden n tienen sumas de fila y sumas de columna iguales a 3, entonces necesitamos saber. Esas son preguntas naturales y convincentes, y eso es suficiente motivación.
La cuestión fundamental aquí desde una perspectiva combinatoria es: ¿qué significa “contar” algo? La combinatoria enumerativa se trata de contar conjuntos finitos, pero ¿qué significa eso? Desde una perspectiva algorítmica, “0-1 matrices de orden n con sumas de fila y columna iguales a 3” es un conjunto bien definido que puede contar con un programa de computadora simple, aunque ineficiente. Una fórmula también es un tipo de algoritmo; ¿Cómo es una fórmula superior a la definición misma?
Cualquier “fórmula” para el número de esas matrices debería ser útil en algún aspecto: debería ser tremendamente más eficiente de calcular, o debería proporcionar una idea del orden de magnitud * aproximado * de la respuesta. En este ejemplo en particular (tomado de la maravillosa “Combinatoria Enumerativa” de Stanley que puedes y debes leer en línea [1]), ambos tipos de respuestas están disponibles.
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Aquí hay una fórmula exacta para el número, [math] f (n) [/ math], de esas matrices:
[matemáticas] f (n) = 6 ^ {- n} n! ^ 2 \ sum_ {a + b + c = n} \ frac {(- 1) ^ b (b + 3c)! 2 ^ a3 ^ b} {a! b! c! ^ 26 ^ c} [/ math]
Esta fórmula es ciertamente más eficiente que simplemente ejecutar todas las matrices posibles y contar, pero no es del todo transparente, por decirlo suavemente. Por otro lado, aquí está la estimación asintótica:
[matemáticas] f (n) \ aprox e ^ {- 2} 36 ^ {- n} (3n)! [/matemáticas]
¿Qué respuesta encuentras más satisfactoria? Esta es tu motivación.
Por supuesto, las estimaciones asintóticas se pueden aplicar de innumerables maneras dentro de las matemáticas abstractas (y las matemáticas aplicadas también, y en otros lugares, pero usted está preguntando acerca de las matemáticas). Las preguntas en la teoría de números combinatorios a menudo son simplemente preguntas sobre la existencia de ciertos números, o si ciertos conjuntos son finitos o infinitos, pero las respuestas generalmente solo se pueden lograr estudiando cuidadosamente el comportamiento asintótico de varias funciones: sumas de Gauss, sumas de Kloosterman, Expansiones de Fourier, etc.
(Uno de los artículos “populares” de Barry Mazur, lo siento, olvidé cuál, comienza desafiando al lector a que presente una prueba de que existe una sola prima de la forma [math] an + b [/ math] con [matemática] a, b [/ matemática] constantes relativamente primas, sin mostrar que hay infinitos números primos de este tipo. Su punto es que todas las pruebas conocidas son de naturaleza analítica y le dan infinitos números primos como subproducto, incluso si usted solo buscas uno).
Como otro ejemplo, esta vez en combinatoria, tome el método probabilístico. Es una herramienta fundamental para mostrar la existencia de muchos tipos de objetos que son difíciles de construir explícitamente (gráficos de Ramsey, por ejemplo). Para aplicar el método, crea un cierto espacio de probabilidad y estima la probabilidad de que su objeto aparezca; entonces necesita estimar cómo esta probabilidad crece asintóticamente, para demostrar que está, por ejemplo, limitada desde 0. Hacerlo generalmente requiere un análisis asintótico cuidadoso de varias configuraciones combinatorias, y listo.
[1] http://www-math.mit.edu/~rstan/e…
