La transformada de Laplace y la transformada de Fourier son transformaciones integrales, utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales, y para modelar y analizar sistemas físicos y señales.
Se puede extender la transformación de Fourier al dominio complejo para llegar a la transformación de Laplace.
Para ilustrar la relación entre la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, comencemos con la siguiente definición de la transformada de Fourier:
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[matemáticas] {\ displaystyle \ mathcal {F} \ big \ {F (t) \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- iyt} F (t) \, dt} [/ matemáticas]
Ahora consideremos la función:
[matemáticas] F (t) = \ left \ {\ begin {array} {@ {} [correo electrónico protegido] {}} e ^ {- xt} \ psi (t), & \ text {if} \ t> 0 \\ 0, & \ text {if} \ t <0 \ end {array} \ right. [/ Math]
Tomando [math] s = x + iy [/ math], la transformada de Fourier de [math] F (t) [/ math] es:
[matemáticas] {\ displaystyle \ mathcal {F} \ big \ {F (t) \ big \} = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {(- (x + iy)) t} \ psi (t) \ , dt = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- st} \ psi (t) \, dt = \ mathcal {L} \ big \ {\ psi (t) \ big \}} [/ math]
Así, tomamos la transformada de Fourier de [math] F (t) [/ math] y obtuvimos la transformada de Laplace de [math] \ psi (t) [/ math].
En relación con el teorema de convolución, la transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones.
Si [math] {\ displaystyle \ {\ mathcal {F}} \ {f \}} [/ math] y [math] {\ displaystyle \ {\ mathcal {F}} \ {g \}} [/ math] son las transformadas de Fourier de [math] {\ displaystyle \ f} [/ math] y [math] {\ displaystyle \ g} [/ math], respectivamente, luego
[matemáticas] {\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}} [/ matemáticas]
De manera similar para la transformación de Laplace en el dominio [math] s [/ math]:
[matemáticas] {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {L}} \ {g \}} [/ matemáticas]
La teoría de la transformada de Laplace está relacionada con la transformada de Fourier, la transformada de Mellin y la transformada Z. Las transformadas de Laplace y Fourier pueden considerarse casos especiales de la transformación Gelfand.