¿Cómo se conectan las transformadas de Laplace y Fourier?

La transformada de Laplace y la transformada de Fourier son transformaciones integrales, utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales, y para modelar y analizar sistemas físicos y señales.

Se puede extender la transformación de Fourier al dominio complejo para llegar a la transformación de Laplace.

Para ilustrar la relación entre la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, comencemos con la siguiente definición de la transformada de Fourier:

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathcal {F} \ big \ {F (t) \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- iyt} F (t) \, dt} [/ matemáticas]

Ahora consideremos la función:

[matemáticas] F (t) = \ left \ {\ begin {array} {@ {} [correo electrónico protegido] {}} e ^ {- xt} \ psi (t), & \ text {if} \ t> 0 \\ 0, & \ text {if} \ t <0 \ end {array} \ right. [/ Math]

Tomando [math] s = x + iy [/ math], la transformada de Fourier de [math] F (t) [/ math] es:

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathcal {F} \ big \ {F (t) \ big \} = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {(- (x + iy)) t} \ psi (t) \ , dt = \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- st} \ psi (t) \, dt = \ mathcal {L} \ big \ {\ psi (t) \ big \}} [/ math]

Así, tomamos la transformada de Fourier de [math] F (t) [/ math] y obtuvimos la transformada de Laplace de [math] \ psi (t) [/ math].

En relación con el teorema de convolución, la transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones.

Si [math] {\ displaystyle \ {\ mathcal {F}} \ {f \}} [/ math] y [math] {\ displaystyle \ {\ mathcal {F}} \ {g \}} [/ math] son las transformadas de Fourier de [math] {\ displaystyle \ f} [/ math] y [math] {\ displaystyle \ g} [/ math], respectivamente, luego

[matemáticas] {\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}} [/ matemáticas]

De manera similar para la transformación de Laplace en el dominio [math] s [/ math]:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {L}} \ {g \}} [/ matemáticas]

La teoría de la transformada de Laplace está relacionada con la transformada de Fourier, la transformada de Mellin y la transformada Z. Las transformadas de Laplace y Fourier pueden considerarse casos especiales de la transformación Gelfand.

Hola,

Tal vez podría leer esta breve pista que escribí hace algún tiempo: la respuesta de Francisco Restivo a ¿Por qué necesitamos la Transformada de Laplace si ya tenemos la Transformada de Fourier?

Fourier se ocupa de las funciones sinusoidales, mientras que Laplace se ocupa de las llamadas funciones exponenciales complejas.

Las transformaciones de Laplace y Fourier son una transformación de Gelfand.
Puede leer más sobre esto aquí: https://en.m.wikipedia.org/wiki/