Creo que bajo el supuesto [math] \ aleph_ {1} = \ mathfrak {c} [/ math] aparte de ejemplos triviales como todas las funciones [math] \ {f: \ mathbf {R} \ to \ {0,1 \ } \} \ cong \ mathcal {P} (\ mathbf {R}) [/ math] o todas las funciones [math] \ mathbf {Z} ^ {\ mathbf {R}}: = \ {f: \ mathbf {R } \ to \ mathbf {Z} \} [/ math], hay algunos más significativos.
Primero considere el conjunto de funciones arbitrarias [math] \ mathbf {R} ^ {\ mathbf {R}} = \ {f: \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} \} [/ math]. Como cada función puede interpretarse como una relación, se deduce que su cardinalidad no es más que [math] \ mathcal {P} (\ mathbf {R} \ times \ mathbf {R}) [/ math] que es claramente [math] \ aleph_ {2} [/ math]. Por lo tanto, la cardinalidad de [math] \ mathbf {R} ^ {\ mathbf {R}} [/ math] es [math] \ aleph_ {2}. [/matemáticas]
Ahora considere el conjunto [math] \ mathcal {L} [0,1] \ subset \ mathbf {R} ^ {\ mathbf {R}} [/ math] de funciones integrables de Lebesgue en [math] [0,1] [/ math] (o, más en general, el dominio arbitrario en [math] \ mathbf {R} ^ {n} [/ math]).
- ¿Cuál será la solución en una línea real para esto, 16 <x ^ 2 <25?
- ¿Cuáles son algunos libros para las matemáticas IIT JAM?
- ¿Qué tan difícil, como un problema olímpico, sería probar el teorema de Dirichlet (números primos en una secuencia AP) si se le preguntara en IMO o Putnam?
- ¿Qué significa que algo sea una prueba en matemáticas?
- En la historia de la lotería, ¿hay algún número que haya aparecido con más frecuencia en los números ganadores de la lotería?
Recuerde que el conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de [matemática] [0,1] [/ matemática] con la medida Lebesgue 0. Defina funciones arbitrarias con valores en [matemática] \ {0,1 \} [/ matemática] y extiéndalos en 0 a [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas]. Como sus subconjuntos son medibles, se deduce que la cardinalidad de las funciones integrables de Lebesgue con [math] \ int_ {0} ^ {1} f (x) dx = 0 [/ math] es [math] \ aleph_ {2} [/ math ] Por supuesto, lo mismo aplica para [math] \ mathcal {L} [0,1] [/ math] así como para funciones absolutamente integrables [math] \ mathcal {L} ^ {1} [0,1] \ supset \ mathcal {L} [0,1] [/ math].
Sin embargo, la cardinalidad de las funciones continuas y su otra importancia en los subespacios de cálculo [matemáticas] C ^ {\ omega} [0,1] \ subset C ^ {\ infty} [0,1] \ subset C ^ {1} [0, 1] \ subconjunto C [0,1] [/ math] es [math] \ aleph_ {1} [/ math].
