En mi opinión y experiencia, uno puede expresar fácilmente la paradoja de Banach Tarski a una persona sin mucho conocimiento matemático. La declaración en sí misma es simple: “Una esfera se puede cortar en un número finito de piezas y luego volver a ensamblar usando solo rotaciones y traslaciones para obtener una esfera del doble del radio”. Sin embargo, es difícil explicar por qué no es una paradoja. Se puede tratar de explicar que el volumen de un conjunto en R ^ n es un valor que se le asigna con ciertas propiedades como la invariancia bajo rotaciones y traslaciones. Sin embargo, se descubrió que no hay una manera consistente de asignar dicho número a todos los subconjuntos posibles de R ^ n. Es decir, nuestra intuición de volumen falla para tales conjuntos. Las “piezas” en la paradoja de Banach Tarski son tales conjuntos. La persona a la que le está explicando esto siempre preguntará por qué no se puede hacer tal construcción en el mundo real. La respuesta a eso es a) el espacio en el que vivimos solo está modelado por R ^ n, pero matemáticamente, R ^ n es una construcción humana que existe solo en nuestras mentes yb) incluso si R ^ n existe en el mundo real, la construcción requiere que tomemos decisiones infinitas, lo cual no es posible en el mundo real.
Recuerdo que cuando estaba en el tercer semestre de pregrado con poco conocimiento matemático, nuestro profesor de teoría de la probabilidad mencionó esta paradoja. Me resultó difícil de digerir y no lo aprecié mucho. ¡Algunos de nosotros incluso pensamos que es falso! Sin embargo, ahora que me estoy especializando en matemáticas, después de tomar un curso de teoría de la medida (estudio de “volúmenes” e integración), todo tiene sentido ahora. No he visto la prueba de la paradoja, así que perdóname si digo algo mal. La prueba es bastante complicada, pero uno debería poder entenderla después de un curso de teoría de la medida.
- ¿Cómo escribiría un predicado para afirmar que un conjunto tiene el mismo número de elementos que otro conjunto?
- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} [/ math]?
- ¿Cuáles son algunos pensamientos interesantes que la gente tiene sobre los números irracionales?
- ¿Por qué los asiáticos son buenos en matemáticas?
- ¿De cuántas maneras puedes dividir a 44 personas en 22 parejas?
